数学教案－由一个二元一次方程一个二元二次方程组成的方程组相关教学方案

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随着初中教师工作的不断熟练，我们需要撰写教案，教案在我们教师的教学中非常重要，通过教案可以帮助自己分析教学的重点，什么样的初中教案比较高质量？欢迎大家阅读小编为大家收集整理的《数学教案－由一个二元一次方程一个二元二次方程组成的方程组相关教学方案》。

第一课时

一、教学目标

1．使学生知道二元二次方程的概念、二元二次方程组的概念；

2．使学生掌握由代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.

3.通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力；

4.通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转化的辨证唯物主义思想的教育；

5.通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美.

二、重点难点疑点及解决办法

1．教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组.

2．教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想.

3．教学疑点：关于学生对二元二次方程组概念的理解.由于教材中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，其实不然.关于这一点，可利用课后辅导向学生做一简单的说明.

4．解决办法：关键是消元，化二元为一元，本节主要是用代入消元.

三、教学过程

1．复习提问

（1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？

（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？

（3）解二元一次方程组有哪几种方法？

问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.

2．新课讲解

我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.

关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了解，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容.

（1）二元二次方程及二元二次方程组

观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.

定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.

二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.

定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：

都是二元二次方程组.

（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.

我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.

解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.

对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.

例1解方程组

分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得再代入①可以求出的值，从而得到方程组的解.

解：由②，得

把③代入①，整理，得

解这个方程，得

.

把代入③，得；

把代入③，得.

所以原方程的解是

说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生解题过程.

巩固练习：教材P571、2

四、总结、扩展

关于本节的小结，教师引导学生共同总结.

本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解.

学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：

1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式.

2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程.

3．解一元二次方程或一元一次方程.

4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数.

5．写出方程组的解.

五、布置作业

教材P581，2.

六、板书设计

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由一个二元一次方程一个二元二次方程组成的方程组相关教学方案

第一课时

一、教学目标

1．使学生知道二元二次方程的概念、二元二次方程组的概念；

2．使学生掌握由代入法解.

3.通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力；

4.通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转化的辨证唯物主义思想的教育；

5.通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组.

2．教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想.

3．教学疑点：关于学生对二元二次方程组概念的理解.由于教材中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，其实不然.关于这一点，可利用课后辅导向学生做一简单的说明.

4．解决办法：关键是消元，化二元为一元，本节主要是用代入消元.

三、教学过程

1．复习提问

（1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？

（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？

（3）解二元一次方程组有哪几种方法？

问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.

2．新课讲解

我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.

关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了解，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容.

（1）二元二次方程及二元二次方程组

观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.

定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.

二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.

定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：

都是二元二次方程组.

（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.

我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.

解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.

对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.

例1解方程组

分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得再代入①可以求出的值，从而得到方程组的解.

解：由②，得

把③代入①，整理，得

解这个方程，得

.

把代入③，得；

把代入③，得.

所以原方程的解是

说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生解题过程.

巩固练习：教材P571、2

四、总结、扩展

关于本节的小结，教师引导学生共同总结.

本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解.

学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：

1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式.

2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程.

3．解一元二次方程或一元一次方程.

4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数.

5．写出方程组的解.

五、布置作业

教材P581，2.

六、板书设计

经典初中教案由一个二元一次方程一个二元二次方程组成的方程组

第一课时

一、教学目标

1．使学生知道二元二次方程的概念、二元二次方程组的概念；

2．使学生掌握由代入法解.

3.通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力；

4.通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转化的辨证唯物主义思想的教育；

5.通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组.

2．教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想.

3．教学疑点：关于学生对二元二次方程组概念的理解.由于教材中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，其实不然.关于这一点，可利用课后辅导向学生做一简单的说明.

4．解决办法：关键是消元，化二元为一元，本节主要是用代入消元.

三、教学过程

1．复习提问

（1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？

（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？

（3）解二元一次方程组有哪几种方法？

问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.

2．新课讲解

我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.

关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了解，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容.

（1）二元二次方程及二元二次方程组

观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.

定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.

二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.

定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：

都是二元二次方程组.

（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.

我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.

解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.

对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.

例1解方程组

分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得再代入①可以求出的值，从而得到方程组的解.

解：由②，得

把③代入①，整理，得

解这个方程，得

.

把代入③，得；

把代入③，得.

所以原方程的解是

说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生解题过程.

巩固练习：教材P571、2

四、总结、扩展

关于本节的小结，教师引导学生共同总结.

本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解.

学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：

1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式.

2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程.

3．解一元二次方程或一元一次方程.

4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数.

5．写出方程组的解.

五、布置作业

教材P581，2.

六、板书设计

由一个二元二次方程一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组教案模板

第一课时

一、教学目标

1．使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法.

2.通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；

3.通过一个二元二次方程解法的分析，使学生进一步体会“消元”和“降次”的数学思想方法，继续向学生渗透“转化”的辨证唯物主义观点.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组.

2．教学难点：正确地判断出可以分解的二元二次方程.

3．教学疑点：降次后的二元一次方程与哪个方程重新组成方程组，一定要分清楚.

4．解决办法：（1）看好哪个二元二次方程能分成两个二元一次方程，它们之间是“或”的关系，不能联立成方程组.（2）分解好的二元一次方程应与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组.

三、教学过程

1．复习提问

（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？

（2）解二元二次方程组的基本思想是什么？

（3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？

（4）解方程组：.

（5）把下列各式分解因式：

①；②；③.

关于问题设计的说明：

由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由

两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接

受了第二种类型研究的要求．关于问题（2）的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题（2）让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题（3）、（4）是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题（5）的设计是为本节课的学习内容做准备的.

2．例题讲解

例1解方程组

分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转

化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发现：方程组（2）的右边是0，左边是一个二次齐次式，并且可以分解为，因此方程（2）可转化为，即或，从而可分别和方程（1）组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．

解：由（2）得

因此，原方程组可化为两个方程组

解方程组，得原方程组的解为

说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．

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由一个二元二次方程一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组初中教案精选

第一课时

一、教学目标

1．使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法.

2.通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；

3.通过一个二元二次方程解法的分析，使学生进一步体会“消元”和“降次”的数学思想方法，继续向学生渗透“转化”的辨证唯物主义观点.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组.

2．教学难点：正确地判断出可以分解的二元二次方程.

3．教学疑点：降次后的二元一次方程与哪个方程重新组成方程组，一定要分清楚.

4．解决办法：（1）看好哪个二元二次方程能分成两个二元一次方程，它们之间是“或”的关系，不能联立成方程组.（2）分解好的二元一次方程应与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组.

三、教学过程

1．复习提问

（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？

（2）解二元二次方程组的基本思想是什么？

（3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？

（4）解方程组：.

（5）把下列各式分解因式：

①；②；③.

关于问题设计的说明：

由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由

两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接

受了第二种类型研究的要求．关于问题（2）的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题（2）让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题（3）、（4）是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题（5）的设计是为本节课的学习内容做准备的.

2．例题讲解

例1解方程组

分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转

化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发现：方程组（2）的右边是0，左边是一个二次齐次式，并且可以分解为，因此方程（2）可转化为，即或，从而可分别和方程（1）组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．

解：由（2）得

因此，原方程组可化为两个方程组

解方程组，得原方程组的解为

说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．

例2解方程组

分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认真的观察与分析可以

发现方程（2）的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方米，因此将右边16移到左边后可利用平方差公式进行分解，，即或，从而可仿例1的解法进行.

解：由（2）得

.

即，或.

因此，原方程组可转化为两个方程组

解这两个方程组，得原方程组的解为

巩固练习：

1．教材P60中1.此练习可让学生口答.

2．教材P60中2.此题让学生独立完成.

四、总结扩展

本节小结，内容较为集中并且比较简单，可引导学生从两个方面进行总结：（1）本节课学习了哪种类型的方程组的解法；（2）这种类型的方程组的解题步骤如何？

这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的并且有一个方程是可以分解成两个二元一次方程的方程组的解法，解这种类型的方程组的步骤是将原二元二次方程组转化为两个已学习过的二元二次方程组，从而求出原方程组的解.

关于比较特殊的二元二次方程组的解法，教师可以利用辅导课的时间补充两个二元二次方程都可以分解的二元二次方程组的解法.

五、布置作业

1．教材P61A1，2，3.

六、板书设计

探究活动

若关于的方程只有一个解，试求出值与方程的解．

解：化简原方程，得（1）

当时，原方程有惟一解，符合题意．

当时，方程（1）根据的判别式

∵

∴，故方程（1）总有两个不同的实数解，按题意其中必有一根是原方程的增根，原方程可能产生的增根只是0或1．

把代入（1），方程不成立，不合题，故增根只能是，把代入（1）得，此时方程为，

∴当时，分式方程的解为；当时，分式方程的解为．

二元一次方程组

教学建议

一、重点、难点分析

本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解．难点是了解的解的含义．这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作的解．用大括号来表示的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答．这是克服这一难点的关键所在．

二、知识结构

本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、（用描述的语言）以及的解等概念．

三、教法建议

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及．

3．通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题．

4．为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如

和矛盾方程组如

等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0（因为这种数学中的特例较少实际意义）当然，作为特例，出现类似

之类的是可以的，这时可以告诉学生，方程（1）中未知数的系数为0，方程（1）也看作一个二元一次方程．

教学设计示例

一、素质教育目标

（－）知识教学点

1．了解二元一次方程、和它的解的概念．

2．会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式．

3．会检验一对数值是不是某个的解．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力．

（三）德育渗透点

培养学生严格认真的学习态度．

（四）美育渗透点

通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情．

二、学法引导

1．教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法．

2．学生学法：理解二元一次方程和及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（－）重点

使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解．

（二）难点

了解的解的含义．

（三）疑点及解决办法

检验一对未知数的值是否为某个的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点．在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及．

3．通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题．

七、教学步骤

（－）明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及的概念并会判断一对未知数的值是否为的解．

（二）整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验解的问题．

（三）教学过程

1．创设情境、复习导入

（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例．

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫．

（2）列一元一次方程求解．

香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答．

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克．

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？

设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点．

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程．

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—．

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解．

2．探索新知，讲授新课

（1）关于二元一次方程的教学．

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习．

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由．

①②③

④⑤⑥

练习二

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程．

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2．

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解．

练习三

课本第6页练习1．

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数（或）每取一个值，另一个未知数（或）就有惟一的值与它相对应．

练习四

填表，使上下每对、的值满足方程．

－2

0

0.4

2

－1

0

3

师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为．

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解奠定了基础．

（2）关于的教学．

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程．因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个．

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起．

练习五

已知、都是未知数，判别下列方程组是否为？

①②

③④

【教法说明】练习五有助于学生理解的概念，目的是避免学生对形成错误的认识．

对于前面的问题，列要比列一元一次方程容易些．根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说

是

的解．

学生活动：尝试总结的解的概念，思考后自由发言．

教师纠正、指导后板书：

使的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做的解．

例题判断是不是的解．

学生活动：口答例题．

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．

3．尝试反馈，巩固知识

练习：（1）课本第6页第2题目的：突出本节课的重点．

（2）课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性．

4．变式训练，培养能力

练习：（1）P84．

【教法说明】使学生更深刻地理解的解的概念，并为解打下基础．

（2）P8B组1．

【教法说明】为列找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．

（四）总结、扩展

1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．

2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个的解．

3．中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题．

八、布置作业

（一）必做题：P73．

（二）选做题：P8B组2．

（三）预习：课本第9～13页．

参考答案

略．

数学教案－由一个二元二次方程一个可以分解为两个二元一次方程的方的教学方案

第一课时

一、教学目标

1．使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法.

2.通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；

3.通过一个二元二次方程解法的分析，使学生进一步体会“消元”和“降次”的数学思想方法，继续向学生渗透“转化”的辨证唯物主义观点.

二、重点难点疑点及解决办法

1．教学重点：通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组.

2．教学难点：正确地判断出可以分解的二元二次方程.

3．教学疑点：降次后的二元一次方程与哪个方程重新组成方程组，一定要分清楚.

4．解决办法：（1）看好哪个二元二次方程能分成两个二元一次方程，它们之间是“或”的关系，不能联立成方程组.（2）分解好的二元一次方程应与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组.

三、教学过程

1．复习提问

（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？

（2）解二元二次方程组的基本思想是什么？

（3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？

（4）解方程组：.

（5）把下列各式分解因式：

①；②；③.

关于问题设计的说明：

由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由

两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接

受了第二种类型研究的要求．关于问题（2）的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题（2）让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题（3）、（4）是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题（5）的设计是为本节课的学习内容做准备的.

2．例题讲解

例1解方程组

分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转

化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发现：方程组（2）的右边是0，左边是一个二次齐次式，并且可以分解为，因此方程（2）可转化为，即或，从而可分别和方程（1）组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．

解：由（2）得

因此，原方程组可化为两个方程组

解方程组，得原方程组的解为

说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．

例2解方程组

分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认真的观察与分析可以

发现方程（2）的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方米，因此将右边16移到左边后可利用平方差公式进行分解，，即或，从而可仿例1的解法进行.

解：由（2）得

.

即，或.

因此，原方程组可转化为两个方程组

解这两个方程组，得原方程组的解为

巩固练习：

1．教材P60中1.此练习可让学生口答.

2．教材P60中2.此题让学生独立完成.

四、总结扩展

本节小结，内容较为集中并且比较简单，可引导学生从两个方面进行总结：（1）本节课学习了哪种类型的方程组的解法；（2）这种类型的方程组的解题步骤如何？

这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的并且有一个方程是可以分解成两个二元一次方程的方程组的解法，解这种类型的方程组的步骤是将原二元二次方程组转化为两个已学习过的二元二次方程组，从而求出原方程组的解.

关于比较特殊的二元二次方程组的解法，教师可以利用辅导课的时间补充两个二元二次方程都可以分解的二元二次方程组的解法.

五、布置作业

1．教材P61A1，2，3.

六、板书设计

探究活动

若关于的方程只有一个解，试求出值与方程的解．

解：化简原方程，得（1）

当时，原方程有惟一解，符合题意．

当时，方程（1）根据的判别式

∵

∴，故方程（1）总有两个不同的实数解，按题意其中必有一根是原方程的增根，原方程可能产生的增根只是0或1．

把代入（1），方程不成立，不合题，故增根只能是，把代入（1）得，此时方程为，

∴当时，分式方程的解为；当时，分式方程的解为．

解二元一次方程组（一）的教学方案

教学目标：1.能熟练地用代入消元法解简单的二元一次方程组2.从解方程的过程中体会转化的思想方法教学重点：用代入消元法解二元一次方程组教学难点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数教学过程：一、情境创设根据篮球比赛规则；赢一场得2分，平一场得1分，在某次中学篮球联赛中，某球队赛了12场，赢了x场，输了y场，共各20分.可以得出方程组：x+y=122x+y=20（学生思考，列出方程）二、新课讲授如何解上面的二元一次方程组呢？x+y=12①2x+y=20②(学生主动探索，尝试，体会消元的方法)解：由①得：y=12-x③将③代入②得：2x+12x-x=20解这个二元一次方程，得x=8将x=8代入③，得y=4所以原方程组的解是x=8y=4注：①二元一次方程组的解是一对数值，而不是一个单纯的x值或y值.②算出结果后要做心算检验，以养成习惯问题：（引导思维拓展）①你是如何解方程组的？②每一步的依据是什么？③还有其它的方法吗？（能否通过消去x解方程？）代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数据用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法，称为代入消元法，简称代入法.（学生归纳、总结、并理解）点评：用代入消元法解二元一次方程组方法不唯一，比如：上题中也可以用y来表示x，通过消去x来解方程.即：由①得：x=12-y……③，将③代入②得……即使用x来表示y，方法也不是唯一的，可以由①得y=12-x，也可以由②得y=20-2x……三、例题教学：解方程组x+3y=03x+2y=92(板书示范，学生思考回答)步骤1．用一个未知数表示另一个未知数；2．将表示后的未知数代入方程；3．解此方程4．求方程组的一对解.四、学生练习p1101、2、3（学生板演）五、拓展延伸1．解方程组3x=1-2y3x+4y=-7（整体代入法）2．已知x+y=k2x+3y=k六、课时小结：1.用代入法解二元一次方程组的步骤？2.任意一个二元一次方程都能用代入消元法解吗？举例说明.七、作业p1121、（1）（4）2、3、