数学教案－一元二次方程的根与系数的关系的教学方案

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初中教师上课前最好是准备一份教案，教案是教师安排教学的依据，写出一份教学方案需要经过精心的准备，怎样才能写好初中教案？下面是小编为您精心收集整理，为您带来的《数学教案－一元二次方程的根与系数的关系的教学方案》，仅供参考，希望对您有帮助。

一、教学目标

1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；

2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；

3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

教学重点和难点：

二、重点难点疑点及解决办法

1．教学重点：根与系数的关系及其推导。

2．教学难点：正确理解根与系数的关系。

3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

（2）解方程①，②。

观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？

2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

设是方程的两个根。

∴

∴

以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）

结论1．如果的两个根是，那么。

如果把方程变形为。

我们就可把它写成

。

的形式，其中。从而得出：

结论2．如果方程的两个根是，那么。

结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。

练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）

此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。

3．一元二次方程根与系数关系的应用。

（1）验根。（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

①；②；③；

④；⑤。

验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意中的负号。

（2）已知方程一根，求另一根。

例：已知方程的根是2，求它的另一根及k的值。

解法1：设方程的另一根为，那么。

∴

又∵。

答：方程的另一根是，k的值是－7。

此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较。

方法（二）∵2是方程的根，

∴

∴原方程可变为

解此方程。

方法（三）∵2是方程的根，

∴

答：方程的另一根是，k的值是－7。

学生进行比较，方法（二）不如方法（一）和（三）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值。

练习：教材P32中2。

学习笔答、板书，评价，体会。

（二）总结、扩展

（12）一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力

3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。

四、布置作业

教材P32中1P33中A1。

五、板书设计

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数学教案－一元二次方程根与系数关系

一元二次方程（一）

一、素质教育目标

（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．

（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．

（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．

二、教学重点、难点

1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．

2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．

三、教学步骤

（一）明确目标

1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．

2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？

教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．

板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．

（二）整体感知

通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？

（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？

（3）什么叫做分式方程？

问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫．

2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？

引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．

一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的．一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”．“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础．一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的．这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断．

3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；

（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；

（3）

（4）6x2＝x；

（5）2x2＝5y；

（6）-x2＝0

4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．

一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．

一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．

5．例1把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？

教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．

6．练习1：教材P．5中1，2．要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．

练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项．

8mx-2m-1＝0；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．

教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．

（四）总结、扩展

引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？

1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．

2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．

3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．

四、布置作业

1．教材P．6练习2．

2．思考题：

1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？”

2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）．

五、板书设计

第十二章一元二次方程

12．1用公式解一元二次方程

1．整式方程：……

4．例1：……

2．一元二次方程……：

……

3．一元二次方程的一般形式：

……

5．练习：……

……

……

12．6一元二次方程的应用（二）

一、素质教育目标

（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．

（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识．

（三）德育渗透点：进一步使学生深刻体会转化以及方程的思想方法、渗透数形结合的思想．

二、教学重点、难点

1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．

2．教学难点：找等量关系．列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解．例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等．

三、教学步骤

（一）明确目标

初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决，但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，这就是我们本节课要研究的一元二次方程的应用——有关面积和体积方面的实际问题．

（二）整体感知

本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性．

从列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意，作出正确的答案．列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；本节课的内容是关于面积、体积的实际问题．

通过本节课学习，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化的思想、方程的思想及数形结合的思想．

（三）重点、难点的学习和目标完成过程

1．复习提问

（1）列方程解应用题的步骤？

（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？

2．例1现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？

解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）cm，

据题意：（19-2x）（15-2x）=77．

整理后，得x2-17x+52=0，

解得x1=4，x2=13．

∴当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去．）

答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子．

本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题．

（1）因为要做成底面积为77cm2的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能用含未知数的代数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．

（2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验，本题如果截取的小正方形边长为13时，得到底面的宽为-11，则不合题意，所以x=13舍去．（3）本题是一道典型的实际生活的问题，在学习本章之前，这个问题无法解决，但学了一元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决．使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识．

练习1．章节前引例．

学生笔答、板书、评价．

练习2．教材P.42中4．

学生笔答、板书、评价．

注意：全面积=各部分面积之和．

剩余面积=原面积-截取面积．

例2要做一个容积为750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？

分析：底面的长和宽均可用含未知数的代数式表示，则长×宽×高=体积，这样便可得到含有未知数的等式——方程．

解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，

解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，

据题意，6x（x+5）=750，

整理后，得x2+5x-125=0．

解这个方程x1=9.0，x2=-14.0（不合题意，舍去）．

当x=9.0时，x+17=26.0，x+12=21.0．

答：可以选用宽为21cm，长为26cm的长方形铁皮．

教师引导，学生板书，笔答，评价．

（四）总结、扩展

1．有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析，便于理解题意，搞清已知量与未知量的相互关系．

2．要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的取舍问题，例如线段的长不能为负．

3．进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力．

一元二次方程的根与系数的关系

一、教学目标

1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；

2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；

3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

教学重点和难点：

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：根与系数的关系及其推导。

2．教学难点：正确理解根与系数的关系。

3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

（2）解方程①，②。

观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？

2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

设是方程的两个根。

∴

∴

以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）

结论1．如果的两个根是，那么。

如果把方程变形为。

我们就可把它写成

。

的形式，其中。从而得出：

结论2．如果方程的两个根是，那么。

结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。

练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）

此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。

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一元二次方程的根与系数的关系的教学方案

一、教学目标

1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；

2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；

3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

教学重点和难点：

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：根与系数的关系及其推导。

2．教学难点：正确理解根与系数的关系。

3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

（2）解方程①，②。

观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？

2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

设是方程的两个根。

∴

∴

以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）

结论1．如果的两个根是，那么。

如果把方程变形为。

我们就可把它写成

。

的形式，其中。从而得出：

结论2．如果方程的两个根是，那么。

结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。

练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）

此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。

3．一元二次方程根与系数关系的应用。

（1）验根。（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

①；②；③；

④；⑤。

验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意中的负号。

（2）已知方程一根，求另一根。

例：已知方程的根是2，求它的另一根及k的值。

解法1：设方程的另一根为，那么。

∴

又∵。

答：方程的另一根是，k的值是－7。

此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较。

方法（二）∵2是方程的根，

∴

∴原方程可变为

解此方程。

方法（三）∵2是方程的根，

∴

答：方程的另一根是，k的值是－7。

学生进行比较，方法（二）不如方法（一）和（三）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值。

练习：教材P32中2。

学习笔答、板书，评价，体会。

（二）总结、扩展

（12）一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力

3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。

四、布置作业

教材P32中1P33中A1。

五、板书设计

一元二次方程

教学目标：（1）理解一元二次方程的概念

（2）掌握一元二次方程的一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）会用因式分解法解一元二次方程

教学重点：一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式

教学难点：因式分解法解一元二次方程

教学过程：

（一）创设情景，引入新课

实际例子引入：列出的方程分别为X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0

由学生说出这几个方程的共同特征，从而引出一元二次方程的概念。

（二）新授

1：一元二次方程的概念。（一个未知数、最高次2次、等式两边都是整式）

练习

2：一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0)

任一个一元二次方程都可以转化成一般形式，注意二次项系数不为零

3：讲解例子

4：利用因式分解法解一元二次方程

5：讲解例子

6：一般步骤

练习

（三）小结

（四）布置作业

板书设计

数学教案－一元二次方程的教学方案

教学目标：（1）理解一元二次方程的概念

（2）掌握一元二次方程的一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）会用因式分解法解一元二次方程

教学重点：一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式

教学难点：因式分解法解一元二次方程

教学过程：

（一）创设情景，引入新课

实际例子引入：列出的方程分别为X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0

由学生说出这几个方程的共同特征，从而引出一元二次方程的概念。

（二）新授

1：一元二次方程的概念。（一个未知数、最高次2次、等式两边都是整式）

练习

2：一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0)

任一个一元二次方程都可以转化成一般形式，注意二次项系数不为零

3：讲解例子

4：利用因式分解法解一元二次方程

5：讲解例子

6：一般步骤

练习

（三）小结

（四）布置作业

板书设计

一元二次方程相关教学方案

教学目标

1．了解整式方程和的概念；

2．知道的一般形式，会把化成一般形式。

3．通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点和难点：

重点：的概念和它的一般形式。

难点：对的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：

1．教材分析：

1）知识结构：本小节首先通过实例引出的概念，介绍了的一般形式以及中各项的名称。

2）重点、难点分析

理解的定义：

是的重要组成部分。方程，只有当时，才叫做。如果且，它就是了。解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：

（1）的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合的定义。

（2）条件是用“关于的”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。如“关于的”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是，解题时就会有不同的结果。

教学目的

1.了解整式方程和的概念；

2.知道的一般形式，会把化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学难点和难点:

重点:

1．的有关概念

2．会把化成一般形式

难点:的含义.

教学过程设计

一、引入新课

引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?

分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。

2.这个问题用什么数学方法解决?(间接计算即列方程解应用题。

3．让学生自己列出方程(x（x十5）＝150)

深入引导：方程x(x十5)＝150有人会解吗?你能叫出这个方程的名字吗？

二、新课

1．从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。事实上初中代数研究的主要对象是方程。这部分内容从初一一直贯穿到初三。到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)

2．什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个、这还取决于未知数的最高次数是几。如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做．(板书的定义)

3．强化的概念

下列方程都是整式方程吗?其中哪些是一元一次方程?哪些是?

(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4

(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8

从以上4例让学生明白判断一个方程是否是不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。

4.概念的延伸

提问：很多吗?你有办法一下写出所有的吗?

引导学生回顾的定义，分析项的情况，启发学生运用字母，找到的一般形式

ax2+bx+c=0(a≠0)

1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．

3）．强调：的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。

强化概念（课本P6）

1．说出下列的二次项系数、一次项系数、常数项：

（1）x2十3x十2＝O（2）x2—3x十4＝0；(3)3x2-5＝0

（4）4x2十3x—2＝0；(5)3x2—5＝0；(6)6x2—x=0。

2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：

(1)6x2＝3-7x；(3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2

课堂小节

(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程—一（如果方程未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元一二次方程）；

(2)要知道的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在。特别注意的是“＝”的右边必须整理成0；

(3)要很熟练地说出随便一个中一二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数．

课外作业：略

数学教案－一元二次方程实数根错例剖析相关教学方案

课题：一元二次方程实数根错例剖析课

【教学目的】精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。

【课前练习】

1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当a_____时，方程为一元二次方程。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。

【典型例题】

例1下列方程中两实数根之和为2的方程是（）

(A)x2+2x+3＝0(B)x2-2x+3＝0(c)x2-2x-3＝0(D)x2+2x+3＝0

错答：B

正解：C

错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2＝2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。

例2若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2＝0两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（）

(A)k＞-1(B)k＜0(c)-1＜k＜0(D)-1≤k＜0

错解：B

正解：D

错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

例3（2000广西中考题）已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1＝0有两个不相等的实根，求k的取值范围。

错解:由△＝(-2)2-4(1-2k)(-1)＝-4k+8＞0得k＜2又∵k+1≥0∴k≥-1。即k的取值范

围是-1≤k＜2

错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

正解：-1≤k＜2且k≠

例4（2002山东太原中考题）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。

错解：由根与系数的关系得

x1+x2＝-（2m+1）,x1x2＝m2+1,

∵x12+x22＝(x1+x2)2-2x1x2

＝[-（2m+1）]2-2（m2+1）

＝2m2+4m-1

又∵x12+x22=15

∴2m2+4m-1=15

∴m1＝-4m2＝2

错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m＝-4时，方程为x2-7x+17＝0，此时△＝（-7）2-4×17×1＝-19＜0，方程无实数根，不符合题意。

正解：m＝2

例5若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1＝0有实数根，求m的取值范围。

错解：△＝[-2(m+2)]2-4(m2-1)＝16m+20

∵△≥0

∴16m+20≥0，

∴m≥-5/4

又∵m2-1≠0，

∴m≠±1

∴m的取值范围是m≠±1且m≥-

错因剖析：此题只说(m2-1)x2-2(m+2)x+1＝0是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m2-1＝0和m2-1≠0两种情况。当m2-1＝0时，即m＝±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。

正解：m的取值范围是m≥-

例6已知二次方程x2+3x+a＝0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。

错解：∵方程有整数根，

∴△＝9-4a＞0，则a＜2.25

又∵a是非负数，∴a＝1或a＝2

令a＝1，则x＝-3±，舍去；令a＝2，则x1＝-1、x2＝-2

∴方程的整数根是x1＝-1，x2＝-2

错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a＝0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3＝0，x4＝-3

正解：方程的整数根是x1＝-1，x2＝-2，x3＝0，x4＝-3

【练习】

练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。

解：（1）根据题意，得△＝(2k-1)2-4k2＞0解得k＜

∴当k＜时，方程有两个不相等的实数根。

（2）存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1+x2=-=0，

解得k＝。经检验k＝是方程-的解。

∴当k＝时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。

读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。

解：上面解法错在如下两个方面：

（1）漏掉k≠0，正确答案为：当k＜时且k≠0时，方程有两个不相等的实数根。

（2）k＝。不满足△＞0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数

练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax2+4x-1＝0只有正实数根?

解：（1）当a＝0时，方程为4x-1＝0，∴x＝

（2）当a≠0时，∵△＝16+4a≥0∴a≥-4

∴当a≥-4且a≠0时，方程有实数根。

又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则：

x1+x2＝-＞0；

x1.x2＝-＞0解得：a＜0

综上所述，当a＝0、a≥-4、a＜0时，即当-4≤a≤0时，原方程只有正实数根。

【小结】以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。

1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。

2、运用根与系数关系时，△≥0是前提条件。

3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。

【布置作业】

1、当m为何值时，关于x的方程x2+2（m-1）x+m2-9＝0有两个正根？

2、已知，关于x的方程mx2-2（m+2）x+m+5＝0（m≠0）没有实数根。求证：关于x的方程

（m-5）x2-2（m+2）x+m＝0一定有一个或两个实数根。

考题汇编

1、（2000年广东省中考题）设x1、x2是方程x2-5x+3＝0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1-x2）2的值。

2、（2001年广东省中考题）已知关于x的方程x2-2x+m-1＝0

（1）若方程的一个根为1，求m的值。

（2）m＝5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。

3、（2002年广东省中考题）已知关于x的方程x2+2（m-2）x+m2＝0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。

4、（2003年广东省中考题）已知x1、x2为方程x2+px+q＝0的两个根，且x1+x2＝6，x12+x22＝20，求p和q的值。

数学教案－一元二次方程的应用的教学方案

第一课时

一、教学目标

1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。

2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。

3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。

二、重点难点疑点及解决办法

1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。

2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系。

3．教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。

4．解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。

三、教学过程

1．复习提问

（1）列方程解应用问题的步骤？

①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。

（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）

2．例题讲解

例1两个连续奇数的积是323，求这两个数。

分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a．设较小的奇数为x，则另一奇数为，b．设较小的奇数为，则另一奇数为；c．设较小的奇数为，则另一个奇数。

以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。

解法（一）设较小奇数为x，另一个为，

据题意，得

整理后，得

解这个方程，得。

由得，由得，

答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。

解法（二）设较小的奇数为，则较大的奇数为。

据题意，得

整理后，得

解这个方程，得。

当时，

当时，。

答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。

解法（三）设较小的奇数为，则另一个奇数为。

据题意，得

整理后，得

解得，，或。

当时，。

当时，。

答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。

引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：

1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？

2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？

答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。

3．选出三种方法中最简单的一种。

练习1．两个连续整数的积是210，求这两个数。

2．三个连续奇数的和是321，求这三个数。

3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。

学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。

例2有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。

分析：数与数字的关系是：

两位数十位数字个位数字。

三位数百位数字十位数字个位数字。

解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。

据题意，得，

整理，得，

解这个方程，得（不合题意，舍去）

当时，

答：这个两位数是24。

以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。

注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。

练习1有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）

教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。

四、布置作业

教材P42A1、2

补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。

五、板书设计

探究活动

将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？

参考答案：

精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50+）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000

当时，50+=60，500=400

当时，50+=80，500=200

所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.

数学教案－一元二次方程的根的判别式

1.知识结构：

2.重点、难点分析

（1）本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.

（2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。

3.教法建议：

（1）引入要自然、合理

新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？什么时候方程无解？我们不解方程能不能判定根的情况？那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点.

（2）利用多媒体进行教学

本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高学习效率.

（3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.

一、教学目标

1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；

2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；

3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.

二、重点难点及解决办法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况。

2．教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.

3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：①；②；③。

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。

2．任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。

（1）当时，方程有两个不相等的实数根。

即

（2）当时，方程有两个相等的实数根，即。

（3）当时，方程没有实数根。

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：。

3．①定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

②一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。

反之亦然。

注意以下几个问题：

（1）这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。

（2）当，说“方程没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。

4．例题讲解

例1不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）；（2）；（3）。

解：（1）

∴原方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程可变形为

。

，

∴原方程有两个相等的实数根。

（3）原方程可变形为

。

∴原方程没有实数根。

学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的（2）计算的值；（3）判别根的情况。

强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出。（2）判别根据的情况，不必求出方程的根。

练习：不解方程，判别下列方程的情况：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）

学生板演、笔答、评价。

（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设，判别方程根的情况，由此判别原方程根的情况。

例2不解方程，判别方程的根的情况。

解：。

又∵不论k取何实数，，

∴原方程有两个实数根。

教师板书，引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围，从而确定的取值。

练习：不解方程，判别下列方程根的情况。

（1）；

（2）；

（3）。

学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。

（3）解：

∵不论m取何值，，即。

∴方程无实数解。

由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值。

（二）总结、扩展

1．判别式的意义及一元二次方程根的情况。

（1）定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。

（2）一元二次方程。

当时，有两个不相等的实数根；

当时，有两个相等的实数根；

当时，没有实数根。反之亦然。

2．通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。

四、布置作业

教材P27A1～4。

5．不解方程，判断下x的方程的根的情况

（1）

（2）

五、板书设计

一元二次方程的解法的教学方案

教学目标

1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程；

2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程；

3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程；

4．会用因式分解法解某些一元二次方程。

5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

教学重点和难点

重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。

教学建议：

一、教材分析：

1．知识结构：

2．重点、难点分析

（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程

用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

（2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

1）把方程化为一般形式，并做到、、之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

2）把一元二次方程的各项系数、、代入公式时，注意它们的符号。

3）当时，才能求出方程的两根。

（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程

如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。

二、教法建议

1．教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

2.注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践．

教学设计示例

教学目标

1.使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;

2.在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；

3.在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。

教学重点和难点

重点：掌握用配方法解一元二次方程。

难点：凑配成完全平方的方法与技巧。

教学过程设计

一复习

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)

2.不完全一元二次方程的哪几种形式?

(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))

3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0),我们已经学会了它们的解法。

特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。

例解方程：(x-3)2=4(让学生说出过程)。

解：方程两边开方，得x-3=±2，移项，得x=3±2。

所以x1=5,x2=1.(并代回原方程检验，是不是根)

4.其实(x-3)2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)

(x-3)2=4,①

x2-6x+9=4,②

x2-6x+5=0.③

二新课

1.逆向思维

我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m)2。

2.通过观察，发现规律

问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。(添一项+1)

即(x2+2x+1)=(x+1)2.

练习，填空：

x2+4x+()=(x+)2;y2+6y+()=(y+)2.

算理x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。

总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即.+()④

(让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次

项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)

项固练习(填空配方)

总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。

问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取?算理是什么?

巩固练习(填空配方)

x2-bx+()=(x-)2;x2-(m+n)x+()=(x-)2.