二次函数图象与系数关系复习教案分析

听了茹老师上的复习课《二次函数图象与系数关系复习》。现在对茹老师进行一个点评，整节课听下来总体感觉是茹老师这节课能根据教材的内容、中考考点的要求和学生的实际，对课堂教学进行了精心设计，体现了教育教学改革的新理念，取得了良好的教学效果，是一节上的非常成功的复习课。

他的教学特点如下：

1、教学设计好，教学流程清楚，环节紧凑、流畅，由易到难，层次分明，知识梳理清晰，有个人的创新、独到之处，注重了基本数学方法的培养与基本数学思想的渗透，从函数解析式中字母系数作用到数形结合思想、分类讨论的思想，从一般到特殊的思考方法，让学生从整体、系统的角度领悟复习要求，从整体上处理教材复习内容，从系统上把握复习要求，整个设计把教学过程变成学生对知识的回顾过程，变成了学生自己探索提升的过程，让学生的能力得到了提高。

2、教学定位非常准。一是从教学设计上看，仅课前热身环节的填空题，就涉及所有二次函数图象与系数关系的所有考点，运用了数形结合思想，有效的唤醒了学生的记忆；二是通过练习教学，进一步夯实了双基，明确了各知识点的能力要求，熟练了通性通法，再加上各练习解决后的总结，让学生的思维品质有了提升；

3、茹老师上课不慌不忙，教态自然；上课能与学生的有效沟通，虽说上这节复习课时间紧，复习内容和知识点多，但他上课舍得把时间给学生去板演过程、去交流思考思路、去讲解解决问题过程；他充分让3、4号学生板书解题过程，充分放手让学生自己动手，动口，老师只引导点拨，使学生主动获取知识，在潜移默化中领悟知识，使学生完全成为课堂主人，达到知识学习与能力培养的统一，说明他善于启发调动学生学习的主动性，有较强的驾驭课堂的能力。

我的二点思考：wWW.Jk251.cOm

1、本节课让学生经历知识的回顾、归纳、运用、构建知识网络的过程。理解二次函数图象与系数关系的意义，体会a、b、c对二次函数图像的影响，体会数形之间的相互转化，并能在具体的问题中运用解决问题。同时，渗透多种数学思想方法，通过这节课的复习，起到了把旧的知识、遗忘的知识重新建立起来，把没有掌握的知识补上来，使新的意义确立和巩固，从而在全面了解的基础上开始学习，更加深化新学的知识内容，达到经过多次反复，逐步提高认识的层次。特别是让学生议、说、画、写，把课堂还给了学生，改变了复习课变成习题课、复习课成了题目评讲课的现状，值得借鉴。

2、由于九年级学生在数学方面更呈现分化较为严重的现象，为了能让好学生“既吃饱又吃好”、跟队生“吃得饱”，对于练习题的设计可以考虑不用一刀切，分层要求学生完成练习，跟队生完成较简单的基础题，优等生补充一些有难度的中考综合题，真正体现到分层优化。

jk251.cOm扩展阅读

二次函数y=ax的图象初中教案精选

教学设计示例1

课题：二次函数的图象

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象；

2、根据图象观察、分析出二次函数的性质；

3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识

4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点；

5、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；

6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.

教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质

教学难点：渗透数形结合的数学思想方法

教学用具：直尺、微机

教学方法：谈话、探究式

教学过程：

1、列表、描点画出函数与的图象，引入新课

例：画出函数与的图象

解：列两个表

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

分别描点画图

2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.

提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？

（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出，时所对应的y值分别相等，如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.

（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取

任意实数.图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.

（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.

（4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如：离y轴近，离y轴远.从列表中可以看出：如过点（2，2），而过点（2，8）也就是说，当x=2时，的图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论.

3、画出函数的图象

与中的a都是正数，当a

我们看例2

例2、画出函数的图象

解：列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

描点画图：

4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质

(1)与刚才两个图象不同的是，的图象开口向下.这是因为x是任意实数，，即，因此，开口会向下.图象有最高点（0，0）

(2)此图象仍然是关于y轴对称的

(3)在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小

5、得出一般的规律

一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线的开口向上，当a

6、小结：这一节课，从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数的性质，体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具，希望大家能自觉地应用.

7、作业：习题13.6A组1、2B组1、2

教学设计示例2

课题：二次函数的图象

第一课时

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生知道二次函数的意义；

2．使学生会用描点法画出二次函数的图像，并结合的图像，初步理解抛物线及其有关概念。

（二）能力训练点

1．进一步培养学生用描点法画函数图像的能力；

2．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。

（三）德育渗透点

通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。

（四）美育渗透点

通过本节课的教学，渗透二次函数图像的对称美，曲线的平滑美。

二、学法引导

教师采用引导发现法，观察法，讲解法

本节的主要内容是理解二次函数的定义，知道二次函数解析式中字母的意思，在画的图像时，要知道图形是抛物线，是轴对称图形、列表时，自变量x的值的选取，应以0为中心，对称地选取两对（或三对）互为相反数，最好x取整数值。

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：二次函数的意义及二次函数的图像的画法。因为它们是研究二次函数的重要基础。

2．教学难点：正确画出二次函数的图像。因为它的图像是一条曲线，画起来较复杂，而且学生在画图之前，尚不清楚二次函数的图像的具体形状和变化趋势，所以不易把握。

3．教学疑点：（1）；（2）的图像的反性质。

4．解决办法：（1）关于二次函数的定义，关键要注意：自变量的最高次数定义，二次项系数；（2）的图像和性质，不可死记硬背，要结合图像理解和掌握二次函数的几个主要特征，如开口方向，顶点坐标（或位置），对称轴，最大值最小值等。

四、教学步骤

（一）教学过程

首先，我们来看两个实验问题：（出示幻灯）

1．圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式？

这个问题由学生举手回答，可找层次较低的学生完成，培养他们的参与意识和自信心。然后把答案写在黑板上留用。

2．已知一个矩形场地的周长是60，一边长为l，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式。

这个问题其实就是13.2中的例1，可由学生得出结论，若学生给出的是，再继续提问：你能否把函数关系式中的括号去掉？然后把所得的结论写在黑板上。

提问：比较与这两个函数，都是用自变量的几次式来表示的？

用这个问题，引出二次函数，在学生回答之后，教师加以总结，板书：

一般地，如果（a、b、c是常数，），那么，y叫做x的二次函数。

提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？

2．对于二次函数中的b和c可否为0？若b和c其一为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？

3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？

由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：；；，使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．

4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？

通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学

做好铺垫．

练习一：P108中1、2口答，注意第1题要让学生说明不是二次函数的原因

提问：根据我们所学知道，一次函数的图像是条直线，那么二次函数的图像又是什么样的呢？

这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也不用给出答案．

我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据刚才对二次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么？

这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究．另一方面也使同学认识到研

究问题要由简到繁的基本方法．

所以第三个问题是，由我们学习的画函数的图像方法与步骤，我们应怎样画二次函数的图像呢？

可由学生先回答画函数图像的三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．然后分步骤来研究这个图像的方法．

（1）列表：①自变量x的取值范围是什么？

②要画这个图，你认为x取整数还是取其他数较好？

③看，它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有什么关系？

学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数时，的值相同．

④若选7个点画图，你准备怎样选？

通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书上给出的这7个点，而且也使

学生初步学会画二次函数图像时选点的技巧．

（2）描点：①在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长？

②怎样画就可以了呢？

答：x轴的正、负半轴画的一样长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以．

通过这两个问题可培养学生的作图技巧．

（2）连线：①观察这7个点的位置，它们是否在一条直线上？

②我们应怎样连接这7个点？

让学生先连一次试试，然后教师演示。关于原点附近的变化趋势，最好能用动画演示，增强学生的直观认识，或看书也可以．

注意：我们所画的只是近似图像．

接下来，让学生观察这个函数图像提问：

1．函数的图像有什么特点？

答：是轴对称图形．

2．你是怎样判断函数的图像有上述特征的？

这个问题，按不同的层次，有三种得出方法：（1）观察图；（2）看列表；（3）直接根据解析式，看学生层次定讲解的深度．

学生回答完上面的问题之后就可指出：函数的图像是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线（板书）

在此处，可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的，不要深讲。

再结合图像指出：抛物线是开口向上的，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即（0，0）点。

关于抛物线的顶点，可按不同层次的学生进行不同层次的解释：

从图像上直观得到：抛物线的顶点是图像的最低点：从解析式上看，当时，取得最小值0，（0，0）就是抛物线的顶点坐标。

（二）总结、扩展

教师提问，学生思考回答：

1．你能否说清二次函数的意义？

注意总结：（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）自变量的最高次数是2。

2．二次函数的图像是什么形状的？它的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

五、布置作业

教材P1141、2、3

六、板书设计

二次函数y=ax的图象的教学方案

教学设计示例1

课题：二次函数的图象

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象；

2、根据图象观察、分析出二次函数的性质；

3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识

4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点；

5、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；

6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.

教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质

教学难点：渗透数形结合的数学思想方法

教学用具：直尺、微机

教学方法：谈话、探究式

教学过程：

1、列表、描点画出函数与的图象，引入新课

例：画出函数与的图象

解：列两个表

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

分别描点画图

2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.

提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？

（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出，时所对应的y值分别相等，如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.

（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取

任意实数.图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.

（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.

（4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如：离y轴近，离y轴远.从列表中可以看出：如过点（2，2），而过点（2，8）也就是说，当x=2时，的图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论.

3、画出函数的图象

与中的a都是正数，当a

我们看例2

例2、画出函数的图象

解：列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

描点画图：

4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质

(1)与刚才两个图象不同的是，的图象开口向下.这是因为x是任意实数，，即，因此，开口会向下.图象有最高点（0，0）

(2)此图象仍然是关于y轴对称的

(3)在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小

5、得出一般的规律

一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线的开口向上，当a

6、小结：这一节课，从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数的性质，体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具，希望大家能自觉地应用.

7、作业：习题13.6A组1、2B组1、2

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二次函数y=ax的图象相关教学方案

教学设计示例1

课题：二次函数的图象

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象；

2、根据图象观察、分析出二次函数的性质；

3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识

4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点；

5、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；

6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.

教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质

教学难点：渗透数形结合的数学思想方法

教学用具：直尺、微机

教学方法：谈话、探究式

教学过程：

1、列表、描点画出函数与的图象，引入新课

例：画出函数与的图象

解：列两个表

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

分别描点画图

2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.

提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？

（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出，时所对应的y值分别相等，如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.

（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取

任意实数.图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.

（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.

（4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如：离y轴近，离y轴远.从列表中可以看出：如过点（2，2），而过点（2，8）也就是说，当x=2时，的图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论.

3、画出函数的图象

与中的a都是正数，当a

我们看例2

例2、画出函数的图象

解：列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

描点画图：

4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质

(1)与刚才两个图象不同的是，的图象开口向下.这是因为x是任意实数，，即，因此，开口会向下.图象有最高点（0，0）

(2)此图象仍然是关于y轴对称的

(3)在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小

5、得出一般的规律

一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线的开口向上，当a

6、小结：这一节课，从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数的性质，体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具，希望大家能自觉地应用.

7、作业：习题13.6A组1、2B组1、2

教学设计示例2

课题：二次函数的图象

第一课时

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生知道二次函数的意义；

2．使学生会用描点法画出二次函数的图像，并结合的图像，初步理解抛物线及其有关概念。

（二）能力训练点

1．进一步培养学生用描点法画函数图像的能力；

2．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。

（三）德育渗透点

通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。

（四）美育渗透点

通过本节课的教学，渗透二次函数图像的对称美，曲线的平滑美。

二、学法引导

教师采用引导发现法，观察法，讲解法

本节的主要内容是理解二次函数的定义，知道二次函数解析式中字母的意思，在画的图像时，要知道图形是抛物线，是轴对称图形、列表时，自变量x的值的选取，应以0为中心，对称地选取两对（或三对）互为相反数，最好x取整数值。

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：二次函数的意义及二次函数的图像的画法。因为它们是研究二次函数的重要基础。

2．教学难点：正确画出二次函数的图像。因为它的图像是一条曲线，画起来较复杂，而且学生在画图之前，尚不清楚二次函数的图像的具体形状和变化趋势，所以不易把握。

3．教学疑点：（1）；（2）的图像的反性质。

4．解决办法：（1）关于二次函数的定义，关键要注意：自变量的最高次数定义，二次项系数；（2）的图像和性质，不可死记硬背，要结合图像理解和掌握二次函数的几个主要特征，如开口方向，顶点坐标（或位置），对称轴，最大值最小值等。

四、教学步骤

（一）教学过程

首先，我们来看两个实验问题：（出示幻灯）

1．圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式？

这个问题由学生举手回答，可找层次较低的学生完成，培养他们的参与意识和自信心。然后把答案写在黑板上留用。

2．已知一个矩形场地的周长是60，一边长为l，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式。

这个问题其实就是13.2中的例1，可由学生得出结论，若学生给出的是，再继续提问：你能否把函数关系式中的括号去掉？然后把所得的结论写在黑板上。

提问：比较与这两个函数，都是用自变量的几次式来表示的？

用这个问题，引出二次函数，在学生回答之后，教师加以总结，板书：

一般地，如果（a、b、c是常数，），那么，y叫做x的二次函数。

提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？

2．对于二次函数中的b和c可否为0？若b和c其一为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？

3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？

由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：；；，使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．

4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？

通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学

做好铺垫．

练习一：P108中1、2口答，注意第1题要让学生说明不是二次函数的原因

提问：根据我们所学知道，一次函数的图像是条直线，那么二次函数的图像又是什么样的呢？

这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也不用给出答案．

我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据刚才对二次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么？

这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究．另一方面也使同学认识到研

究问题要由简到繁的基本方法．

所以第三个问题是，由我们学习的画函数的图像方法与步骤，我们应怎样画二次函数的图像呢？

可由学生先回答画函数图像的三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．然后分步骤来研究这个图像的方法．

（1）列表：①自变量x的取值范围是什么？

②要画这个图，你认为x取整数还是取其他数较好？

③看，它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有什么关系？

学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数时，的值相同．

④若选7个点画图，你准备怎样选？

通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书上给出的这7个点，而且也使

学生初步学会画二次函数图像时选点的技巧．

（2）描点：①在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长？

②怎样画就可以了呢？

答：x轴的正、负半轴画的一样长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以．

通过这两个问题可培养学生的作图技巧．

（2）连线：①观察这7个点的位置，它们是否在一条直线上？

②我们应怎样连接这7个点？

让学生先连一次试试，然后教师演示。关于原点附近的变化趋势，最好能用动画演示，增强学生的直观认识，或看书也可以．

注意：我们所画的只是近似图像．

接下来，让学生观察这个函数图像提问：

1．函数的图像有什么特点？

答：是轴对称图形．

2．你是怎样判断函数的图像有上述特征的？

这个问题，按不同的层次，有三种得出方法：（1）观察图；（2）看列表；（3）直接根据解析式，看学生层次定讲解的深度．

学生回答完上面的问题之后就可指出：函数的图像是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线（板书）

在此处，可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的，不要深讲。

再结合图像指出：抛物线是开口向上的，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即（0，0）点。

关于抛物线的顶点，可按不同层次的学生进行不同层次的解释：

从图像上直观得到：抛物线的顶点是图像的最低点：从解析式上看，当时，取得最小值0，（0，0）就是抛物线的顶点坐标。

（二）总结、扩展

教师提问，学生思考回答：

1．你能否说清二次函数的意义？

注意总结：（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）自变量的最高次数是2。

2．二次函数的图像是什么形状的？它的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

五、布置作业

教材P1141、2、3

六、板书设计

数学教案－二次函数y=ax的图象的教学方案

课题二次函数y=ax2的图象（一）

一、教学目的

1．使学生初步理解二次函数的概念。

2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。

二、教学重点、难点

重点：对二次函数概念的初步理解。

难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

三、教学过程

复习提问

1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2-2。

2．什么是一无二次方程？

3．怎样用找点法画函数的图象？

新课

1．由具体问题引出二次函数的定义。

（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。

（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。

（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

解：（1）函数解析式是S=πR2；

（2）函数析式是S=30L—L2；

（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即

y=50x2+100x+50。

由以上三例启发学生归纳出：

（1）函数解析式均为整式；

（2）处变量的最高次数是2。

我们说三个式子都表示的是二次函数。

一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。

2．画二次函数y=x2的图象。

按照描点法分三步画图：

（1）列表∵x可取任意实数，∴以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；

（2）描点按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；

（3）边线用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。

注意两点：

（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x

（2）所画的图象是近似的。

3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？——我们–1与1之间每隔0.2的间距取x值表和图13-14。按课本P118内容讲解。

4．引入抛物线的概念。

关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。

小结

1．二次函数的定义。

（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。

2．二次函数y=x2的图象。

（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

补充例题

下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？

（1）y=2-3x2；（2）y=x(x-4)；

（3）y=1/2x2-3x-1；（4）y=1/4x2+3x-8；

（5）y=7x（1-x）+4x2；（6）y=（x-6）（6+x）。

作业：P122中A组1，2，3。

四、教学注意问题

1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。

2．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：

（1）y=x2的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）

（2）如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。）

二次函数

〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向

〖大纲要求〗

1．理解二次函数的概念；

2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；

3．会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

4．会用待定系数法求二次函数的解析式；

5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容

（1）二次函数及其图象

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。

二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是，对称轴是，当a>0时，抛物线开口向上，当a

抛物线y=a（x+h）2+k(a≠0)的顶点是（-h，k），对称轴是x=-h.

〖考查重点与常见题型〗

1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2额图像经过原点，

则m的值是

2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数y＝kx＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数

y＝kx2＋bx－1的图像大致是（）

yyyy

11

0xo-1x0x0-1x

ABCD

3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝，求这条抛物线的解析式。

4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

习题1:

一、填空题：（每小题3分，共30分）

１、已知Ａ（３，６）在第一象限，则点Ｂ（３，－６）在第象限

２、对于ｙ＝－，当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而

３、二次函数ｙ＝ｘ２＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是

４、抛物线ｙ＝（ｘ－１）２－７的对称轴是直线ｘ＝

５、直线ｙ＝－５ｘ－８在ｙ轴上的截距是

６、函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是

７、若函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２＋３ｍ＋１是反比例函数，则m的值为

８、在公式＝ｂ中，如果ｂ是已知数，则ａ＝

９、已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的取值范围是

１０、某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨），与该乡人口数ｘ的函数关系式是

二、选择题：（每题3分，共30分）

１１、函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围（）

(Ａ)ｘ＞５(Ｂ)ｘ＜５(Ｃ)ｘ≤５(Ｄ)ｘ≥５

１２、抛物线ｙ＝（ｘ＋３）２－２的顶点在（）

(Ａ)第一象限(Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限(Ｄ)第四象限

１３、抛物线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）与坐标轴交点的个数为（）

(Ａ)０(Ｂ)１(Ｃ)２(Ｄ)３

１４、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（）

(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

15．平面三角坐标系内与点（3，－5）关于ｙ轴对称点的坐标为（）

（A）（－3,5）（B）（3,5）（C）（－3，－5）（D）（3，－5）

16．下列抛物线，对称轴是直线ｘ＝的是（）

（A）ｙ＝ｘ2（B）ｙ＝ｘ2＋2ｘ（C）ｙ＝ｘ2＋ｘ＋2（D）ｙ＝ｘ2－ｘ－2

17．函数ｙ＝中，ｘ的取值范围是（）

（A）ｘ≠0（B）ｘ＞（C）ｘ≠（D）ｘ＜

18．已知A（0,0），B（3,2）两点，则经过A、B两点的直线是（）

（A）ｙ＝ｘ（B）ｙ＝ｘ（C）ｙ＝3ｘ（D）ｙ＝ｘ＋1

19．不论ｍ为何实数，直线ｙ＝ｘ＋2ｍ与ｙ＝－ｘ＋4的交点不可能在（）

一元二次方程的根与系数的关系

一、教学目标

1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；

2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；

3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

教学重点和难点：

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：根与系数的关系及其推导。

2．教学难点：正确理解根与系数的关系。

3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

（2）解方程①，②。

观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？

2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

设是方程的两个根。

∴

∴

以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）

结论1．如果的两个根是，那么。

如果把方程变形为。

我们就可把它写成

。

的形式，其中。从而得出：

结论2．如果方程的两个根是，那么。

结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。

练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）

此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。

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