数学教案－平行线分线成比例定理初中教案精选

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现在，很多初中教学都需要用到教案，教案在我们的教学生活当中十分常见，要想在教学中不断进取，其秘诀之一就是编写好教案。怎样写好自己的初中教案呢？小编为你推荐《数学教案－平行线分线成比例定理初中教案精选》，希望您喜欢。

（第二课时）

一、教学目标

1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.

2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.

3．已知线的成已知比的作图问题.

4．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.

5．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.

二、教学设计

观察、猜想、归纳、讲解

三、重点、难点

l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．

2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具．

六、教学步骤

【复习提问】

叙述平行线分线段成比例定理（要求：结合图形，做出六个比例式）.

【讲解新课】

在黑板上画出图，观察其特点：与的交点A在直线上，根据平行线分线段成比例定理有：……（六个比例式）然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，这样即可得到：

平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例．

在黑板上画出左图，观察其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：（六个比例式），然后擦掉图中有关线，得到右图，这样即可证到：

平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例．

综上所述，可以得到：

推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

如图，（六个比例式）．

此推论是判定三角形相似的基础．

注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，如果已知，DE是截线，这个推论包含了下图的各种情况．

这个推论不包含下图的情况．

后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待．（考虑改用投影仪或小黑板）

例3已知：如图，，求：AE．

教材上采用了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即：.

让学生思考，是否可直接未出AE（找学生板演）．

【小结】

1．知道推论的探索方法．

2．重点是推论的正确运用

七、布置作业

（1）教材P215中2．

（2）选作教材P222中B组1．

八、板书设计

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经典初中教案平行线分线成比例定理

教学建议

知识结构

重难点分析

本节的重点是.是研究相似形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.

本节的难点也是.变式较多，学生在找对应线段时常常出现错误；另外在研究平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法研究几何问题，学生接触不多，也常常出现错误.

教法建议

1.的引入可考虑从旧知识引入，先复习平行线等分线段定理，再改变其中的条件引出

2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由学生测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和学生的认知规律

（第一课时）

一、教学目标

1．使学生在理解的基础上掌握及其推论，并会灵活应用.

2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.

3．已知线的成已知比的作图问题.

4．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.

5．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.

二、教学设计

观察、猜想、归纳、讲解

三、重点、难点

l．教学重点：是和推论及其应用．

2．教学难点：是的正确性的说明及推论应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具．

六、教学步骤

【复习提问】

找学生叙述平行线等分线段定理．

【讲解新课】

在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理．首先复习一下平行线等分线段定理，如图：

，且，

∴

由于

问题：如果，那么是否还与相等呢？

教师可带领学生阅读教材P211的说明，然后强调：

（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）

因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：

由比例性质，还可得到：

为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简单的形象化的语言

“”.

另外，根据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同一直线上，也就是“”，这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.

：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.

根据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可根据情况选用其中任何一个，参见下图.

，

∴.

其中后两种情况，为下一节学习推论作了准备.

例1已知：如图所示，.

求：BC.

解：让学生来完成.

注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以减少错误，如例1可列比例式为：

例2已知：如图所示，

求证：.

有了5.1节例4的教学，学生作此例题不会有困难，建议让学生来完成.

【小结】

1．正确性的的说明.

2．熟练掌握由定理得出的六个比例式.（对照图形，并注意变化）

七、布置作业

教材P221中3（训练学生克服图形中各线段的干扰）.

八、板书设计

标题

复习：平行线等分线段定理

问题：……

平行线等分线段定理：……

4个变式图形（投影仪）

板书：

形象语言……

例1．……

例2．……

数学教案－平行线等分线定理相关教学方案

教学建议

1．平行线等分线段定理

定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．

注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．

定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．

2．平行线等分线段定理的推论

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．

推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．

重难点分析

本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.

本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.

教法建议

平行线等分线段定理的引入

生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：

①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；

②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.

教学设计示例

一、教学目标

1.使学生掌握平行线等分线段定理及推论.

2.能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．

3.通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．

4.通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美

二、教法设计

学生观察发现、讨论研究，教师引导分析

三、重点、难点

1．教学重点：平行线等分线段定理

2．教学难点：平行线等分线段定理

四、课时安排

l课时

五、教具学具

计算机、投影仪、胶片、常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习

七、教学步骤

【复习提问】

1．什么叫平行线？平行线有什么性质．

2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？

【引入新课】

由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？

（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．

下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．

已知：如图，直线，．

求证：．

分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．

（引导学生找出另一种证法）

分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．

证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．

∴

∵，

∴

又∵，，

∴

∴

为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．

引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1．

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．

接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．

例已知：如图，线段．

求作：线段的五等分点．

作法：①作射线．

②在射线上以任意长顺次截取．

③连结．

④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．

、、、就是所求的五等分点．

（说明略，由学生口述即可）

【总结、扩展】

小结：

（l）平行线等分线段定理及推论．

（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．

（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．

（4）应用定理任意等分一条线段．

八、布置作业

教材P188中A组2、9

九、板书设计

平行线等分线定理

教学建议

1．

定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．

注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．

定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．

2．的推论

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．

推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．

重难点分析

本节的重点是.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.

本节的难点也是.由于学生初次接触到，在认识和理解上有一定的难度，在加上的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.

教法建议

的引入

生活中有许多的例子，并不陌生，的引入可从下面几个角度考虑：

①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；

②可用问题式引入，开始时设计一系列与概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出和推论.

教学设计示例

一、教学目标

1.使学生掌握及推论.

2.能够利用任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．

3.通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．

4.通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美

二、教法设计

学生观察发现、讨论研究，教师引导分析

三、重点、难点

1．教学重点：

2．教学难点：

四、课时安排

l课时

五、教具学具

计算机、投影仪、胶片、常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习

七、教学步骤

【复习提问】

1．什么叫平行线？平行线有什么性质．

2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？

【引入新课】

由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？

（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到）

：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．

下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．

已知：如图，直线，．

求证：．

分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．

（引导学生找出另一种证法）

分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．

证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．

∴

∵，

∴

又∵，，

∴

∴

为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．

引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1．

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．

接下来讲如何利用来任意等分一条线段．

例已知：如图，线段．

求作：线段的五等分点．

作法：①作射线．

②在射线上以任意长顺次截取．

③连结．

④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．

、、、就是所求的五等分点．

（说明略，由学生口述即可）

【总结、扩展】

小结：

（l）及推论．

（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．

（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．

（4）应用定理任意等分一条线段．

八、布置作业

教材P188中A组2、9

九、板书设计

十、随堂练习

教材P182中1、2

经典初中教案平行线等分线定理

教学建议

1．

定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．

注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．

定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．

2．的推论

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．

推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．

重难点分析

本节的重点是.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.

本节的难点也是.由于学生初次接触到，在认识和理解上有一定的难度，在加上的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.

教法建议

的引入

生活中有许多的例子，并不陌生，的引入可从下面几个角度考虑：

①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；

②可用问题式引入，开始时设计一系列与概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出和推论.

教学设计示例

一、教学目标

1.使学生掌握及推论.

2.能够利用任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．

3.通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．

4.通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美

二、教法设计

学生观察发现、讨论研究，教师引导分析

三、重点、难点

1．教学重点：

2．教学难点：

四、课时安排

l课时

五、教具学具

计算机、投影仪、胶片、常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习

七、教学步骤

【复习提问】

1．什么叫平行线？平行线有什么性质．

2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？

【引入新课】

由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？

（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到）

：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．

下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．

已知：如图，直线，．

求证：．

分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．

（引导学生找出另一种证法）

分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．

证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．

∴

∵，

∴

又∵，，

∴

∴

为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．

引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1．

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．

接下来讲如何利用来任意等分一条线段．

例已知：如图，线段．

求作：线段的五等分点．

作法：①作射线．

②在射线上以任意长顺次截取．

③连结．

④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．

、、、就是所求的五等分点．

（说明略，由学生口述即可）

【总结、扩展】

小结：

（l）及推论．

（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．

（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．

（4）应用定理任意等分一条线段．

八、布置作业

教材P188中A组2、9

九、板书设计

十、随堂练习

教材P182中1、2

数学教案－平行线及平行公理初中教案精选

教学建议

1、教材分析

(1)知识结构

本节从实例中概括出平行线的概念，给出了平行线的记法和它的画法，并引出了平行公理及其推论．

(2)重点、难点分析

本节的重点是：平行公理及其推论．承认“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”的几何是欧氏几何，否则是非欧几何．由此可见，平行公理在几何中的地位十分重要．在教学时，学生可以从用直尺和三角板画平行线的画图过程中，理解平行公理．特别是真正地体会到公理中的“有且只有”的意义．

本节难点是：理解平行线的概念以及由平行公理导出其推论的过程定义中的“在同一平面内”的这个前提，是为了区别立体几何中异面直线的情况．教学时只要学生能意识到，空间的直线还存在另一种不相交的情形的，即异面直线．

另外，从平行公理推导出其推论的过程，渗透了反证法的思想．初中学生难于理解，教材对反证法既不作要求，也不必提出反证法这个词，只要把道理说明白即可．

2、教法建议

（1）概念的引入：学生从教师创设的情景中，可以直观地认识平行线．从实例中，体会平行线在现实中是存在的，并且有它固有的属性，因此很有必要认真地研究它．当然，我们首先要能深刻地理解它的定义．

（2）分析概念：教师可以举一组图形，帮助学生理解定义中强调的“在同一平面内”这个前提条件．初步形成

（3）掌握平行线的画法：学生刚开始接触几何，为降低难度，适应学生的发展，提高学生的学习兴趣，作图时不要求学生写出已知，求做，证明等步骤，只要保留作图痕迹．通过作图的教学使学生能准确而迅速地画出几何图形，为今后的几何学习打下良好的基础．

（4）平行公理及其推论

在学生画图的过程中，教师可以提出问题，过直线外一点有几条直线可以与已知直线平行呢？学生在动手操作后，可以体验到公理的客观存在性．并且可以让有数学素养的同学，尝试说明平行公理推论的正确性，通过说理，体会数学的严谨性与逻辑性．

教学设计示例

一、教学目标

1．了解平行线的概念，理解学过的描述图形形状和位置关系的语句．

2．掌握平行公理及推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；会用学过的几何语句描述简单的图形和根据语句画图．

3．通过画平行线和按几何语句画图的题目练习，培养学生画图能力．

4．通过平行公理推论的推理，培养学生的逻辑思维能力和进行推理的能力．

二、学法引导

1．教师教法：尝试法、引导法、发现法．

2．学生学法：在教师的引导下，尝试发现新知，造就成就感．

三、重点、难点及解决办法

（－）重点

平行公理及推论．

（二）难点

平行线概念的理解．

（三）解决办法

通过引导学生尝试发现新知、练习巩固的方法来解决．

四、教具学具准备

投影仪、三角板、自制胶片．

五、师生互动活动设计

1．通过投影片和适当问题创设情境，引入新课．

2．通过教师引导，学生积极思维，进行反馈练习，完成新授．

3．学生自己完成本课小结．

六、教学步骤

（－）明确目标

掌握平行公理及其推论的应用，能画出平行线，会用几何语句描述图形的画法，培养学生的逻辑推理能力．

（二）整体感知

以情境引出课题，以生活知识和已有的知识为基础，引导学生学习平行公理及其推论，并以变式训练强化和巩固新知．

（三）教学过程

创设情境，引出课题

师：前面我们学习了两条直线相交的情形，下面清同学们看投影片．观察投影片中的铁路桥梁以及立在路边的三根电线杆，再请同学们观察黑板相对的两条边和横格本中两条横线，若把它们向两方延长，看成直线，它们还是相交直线吗？

学生齐声答：不是．

师：因此，平面内的两条直线除了相交以外，还有不相交的情形，这就是我们本节所要研究的内容．（板书课题）

［板书］24．平行线及平行公理

【教法说明】通过具体的实物和实物的图形，使学生建立起不相交的感性认识，同时在头脑中初步形成平行线的图形．

探究新知，讲授新课

师：在我们生活的周围，平面内不相交的情形还有许多，你能举例说明吗？

学生：窗户相对的棱，桌面的对边，书的对边……

师：我们把它们向两方无限延伸，得到的直线总也不会相交．我们把这样的直线叫做平行线．

［板书］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．

【教法说明】初中几何必须重视几何概念的直观性，所以让学生多观察实物形状，在形成了感性认识的基础上，认识数学名称，让学生从中感受到数学的实在性，减少抽象性．

教师出示投影片（课本第74页图2–17）．

师：请同学们观察，长方体的棱与无论怎样延长，它们会不会相交？

学生：不会相交．

师：那么它们是平行线吗？

学生：不是．

师：也就是说平行线的定义必须有怎样的前提条件？

学生：在同一平面内．

师：谁能说为什么要有这个前提条件？

学生：因为空间里，不相交的直线不一定平行．

【教法说明】通过教师的引导，学生观察分析，自己得出结论，从而使学生切实体会到平行线的“在同一平面内”这个前提条件的重要性．

教师在黑板上给出课本第73页图2–16．

讲解：平行用符号“”表示，如图直线与是平行线记作“”（或）读作“平行于”（或平行于）也就是说平行是相互的．

【教法说明】这里教师不必赘述，让学生清楚平行线符号表示、读法和记法就可以了，对于平行线的图形经常会使用变式图形，不要总是横平竖直的，以防形成思维定式．

师：请同学们思考，在同一平面内任意画两条不同的直线，它们的位置关系只能有几种情况，试画一画，同桌的可以讨论．

学生：两种．相交和平行．

由此师生共同小结：在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种．

尝试反馈，巩固练习（出示投影）

1．判断正误

（1）两条不相交的直线叫做平行线．（）

（2）有且只有一个公共点的两直线是相交直线．（）

（3）在同一平面内，不相交的两条直线一定平行．（）

（4）一个平面内的两条直线，必把这个平面分为四部分．（）

2．下列说法中正确的是（）

A．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种．

B．在同一平面内，不垂直的两直线必平行．

C．在同一平面内，不平行的两直线必垂直．

D．在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直．

学生活动：学生回答，并简要说明理由．

【教法说明】这组练习旨在巩固学生掌握平行线定义及平面内两直线的位置关系，通过判断（1）、（3）题让学生进一步体会平行线的“在同一平面内”的前提条件，通过判断（2）、（4）题和选择题使学生对两直线位置关系，尤其是对垂直是相交的一种特殊情况有更深层的理解．

师：我们很容易画出两条相交直线，而对于平行线的画法，我们在小学就学过用直尺和三角板画，下面清同学在练习本上完成下面题目（投影显示）．

已知直线和外一点，过点画直线，使．

师：请根据语句，自己画出已知图形．

学生活动：学生在练习本上画出图形．

师：下面请你们按要求画出直线．

学生活动：学生能够很快完成，然后请一个学生在黑板上板演，其他学生观察他的画图过程是否正确，然后师生一起订正．

注意：（1）在推动三角尺时，直尺不要动；

（2）画平行线必须用直尺三角板，不能徒手画．

【教法说明】画平行线是几何画图的基本技能之一，在以后的画图中常常会遇到，要求学生使用工具，不仅能养成良好的学习习惯，也能培养学生严谨的学习态度．

尝试反馈，巩固练习（出示投影）．

1．画线段，画任意射线，在上取、、三点，使，连结，用三角板画，，分别交于、，量出、、的长（精确到）．

2．读下列语句，并画图形

（1）点是直线外的一点，直线经过点，且与直线平行．

（2）直线、是相交直线，点是直线、外的一点，直线经过点与直线平行与直线相交于．

（3）过点画，交的延长线于．

学生活动：学生在练习本上按要求画图，并由两个学生在黑板上画第2题的（2）、（3）题，学生画完后教师给出第1题的图形（提前做好的投影片），请学生回答测量的结果，然后共同订正第2题的（2）、（3）题．

【教法说明】这组练习重点巩固平行线的画法及理解描述图形形状和位置关系的语句，能够根据语句画出正确图形，注意要求学生用准确的几何语言反映图形，同时真正理解几何语言才能画好图形．

师：我们练习了过直线外一点画已知直线的平行线，请同学们回忆，过直线外一点能不能画直线的垂线，能画几条？

学生活动：学生思考并回答，能画，而且只能画一条．

师：下面请你试一试，前面我们完成的过直线外一点与已知直线平行的直线可以画几条，想一想，你能得到什么结论？

学生活动：学生动手操作，思考后总结出结论：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

师：我们把这个结论叫平行公理，教师板书．

【板书】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

【教法说明】学生对垂线的惟一性比较熟悉，通过对惟一性的回顾，学生能够用类比的思想，把自己动手得到的实验结论采用准确的几何语言描述出来，这样不仅培养了学生善于类比的思想，同时也训练了学生语言的规范性．

师：过直线外一点，能画这条直线的惟一平行线，若没有条件“过直线外一点”，问你能画已知直线的平行线吗？能画多少条？

学生：思考后，立即回答，能画无数条．

师：请同学们在练习本上完成．

（出示投影）

已知直线，分别画直线、，使，．

学生活动：学生在练习本上完成．

师：请同学们观察，直线、能不能相交？

学生活动：观察，回答：不相交，也就是说．

师：为什么呢？同桌可以讨论．

学生活动：学生积极讨论，各抒己见．

【教法说明】几何的学习不仅要求学生有较强的识图能力，而且要求学生有过硬的分析能力，也就是说理能力．初一几何课是几何课的起始课，从开始就让学生养成自己动手、动脑、思考、分析问题的习惯，即加强几何思维不惯的培养，这是个很重要的内容．

学生活动：教师让学生积极发表意见，然后给出正确的引导．

师：我们观察图形，如果直线与相交，设交点为，那么会产生什么问题呢？请同学们讨论．

学生活动：学生在教师的启发引导下思考、讨论，得出结论．

师：同学们想得很好，因为，，于是过点就有两条直线、都与平行，根据平行公理，这是不可能的，这就是说，与不能相交，只能平行，由此我们得到平行公理的推论．

［板书］如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

师：在同一平面内，不相交的两条直线是平行的，那么不相交的两条射线（或线段）也是平行的，对吗？为什么？

学生活动：学生思考，回答：不对，给出反例图形，

例如：如图1所示，射线与就不相交，也不平行．

师：同学们想一想，当我们说两条射线或线段平行时，实际上是什么平行才可以呢？

生：它们所在的直线平行．

尝试反馈，巩固练习（投影）

填空：∵，（已知），

∴_______________（）．

学生活动：口答．

【教法说明】巩固平行公理推论的掌握，同时让学生清楚平行公理推论的符号语言，为今后进行推理论证打好基础．

变式训练，培养能力（出示投影）

选择题

下列图形都不相交，哪一个平行（）

【教法说明】进一步加深学生对平行线的理解，尤其是平行的变式图形．

（四）总结、扩展

师：今天我们学习了平行线，知道了同一平面内两条直线位置关系只有相交、平行两种，完成下表：（出示投影）

学生活动：表格中的内容均由学生口答出来．

【教法说明】通过学生完成表格，不仅回顾本节所学知识，同时培养学生的归纳总结能力，使学生所学知识形成体系，从而更好地掌握知识．

八、布置作业

（一）必做题

课本第96页习题2.2Ａ组第3题（1）、（2）题．

（二）思考题

1．能直接利用定义判断两条直线是否平行吗？

2．怎样才能判断两条直线是否平行呢？

3．阅读课本第76页，“读一读”的观察与实验，课下同学之间相互演示．

作业答案

3.

(1)(2)

九、板书设计

数学教案－平行线的性质初中教案精选

一、教学目标

1．理解平行线的性质与平行线的判定是相反的问题，掌握平行线的性质．

2．会用平行线的性质进行推理和计算．

3．通过平行线性质定理的推导，培养学生观察分析和进行简单的逻辑推理的能力．

4．通过学习平行线的性质与判定的联系与区别，让学生懂得事物是普遍联系又相互区别的辩证唯物主义思想．

二、学法引导

1．教师教法：采用尝试指导、引导发现法，充分发挥学生的主体作用，体现民主意识和开放意识．

2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现，认真研究．

三、重点难点解决办法

（一）重点

平行线的性质公理及平行线性质定理的推导．

（二）难点

平行线性质与判定的区别及推导过程．

（三）解决办法

1．通过教师创设情境，学生积极思维，解决重点．

2．通过学生自己推理及教师指导，解决难点．

3．通过学生讨论，归纳小结．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、三角板、自制投影片．

六、师生互动活动设计

1．通过引例创设情境，引入课题．

2．通过教师指导，学生积极思考，主动学习，练习巩固，完成新授．

3．通过学生讨论，完成课堂小结．

七、教学步骤

（一）明确目标

掌握和运用平行线的性质，进行推理和计算，进一步培养学生的逻辑推理能力．

（二）整体感知

以情境创设导入新课，以教师引导，学生讨论归纳新知，以变式练习巩固新知．

（三）教学过程

创设情境，复习导入

师：上节课我们学习了平行线的判定，回忆所学内容看下面的问题（出示投影片1）．

1．如图1，

（1）∵（已知），∴（）．

（2）∵（已知），∴（）．

（3）∵（已知），∴（）．

2．如图2，（1）已知，则与有什么关系？为什么？

（2）已知，则与有什么关系？为什么？

图2图3

3．如图3，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角是，第二次拐的角是多少度？

学生活动：学生口答第1、2题．

师：第3题是一个实际问题，要给出的度数，就需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质．板书课题：

［板书］2.6平行线的性质

【教法说明】通过第1题，对上节所学判定定理进行复习，第2题为性质定理的推导做好铺垫，通过第3题的实际问题，引入新课，学生急于解决这个问题，需要学习新知识，从而激发学生学习新知识的积极性和主动性，同时让学生感知到数学知识来源于生活，又服务于生活．

探究新知，讲授新课

师：我们都知道平行线的画法，请同学们画出直线的平行线，结合画图过程思考画出的平行线，找一对同位角看它们的关系是怎样的？

学生活动：学生在练习本上画图并思考．

学生画图的同时教师在黑板上画出图形（见图4），当同学们思考时，教师有意识地重复演示过程．

【教法说明】让同学们动手、动脑、观察思考，使学生养成自己发现问题得出规律的习惯．

学生活动：学生能够在完成作图后，迅速地答出：这对同位角相等．

提出问题：是不是每一对同位角都相等呢？请同学们任画一条直线，使它截平行线与，得同位角、，利用量角器量一下；与有什么关系？

学生活动：学生按老师的要求画出图形，并进行度量，回答出不论怎样画截线，所得的同位角都相等．

根据学生的回答，教师肯定结论．

师：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等．我们把平行线的这个性质作为公理．

［板书］两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

简单说成：两直线平行，同位角相等．

【教法说明】在教师提出问题的条件下，学生自己动手，实际操作，进行度量，在有了大量感性认识的基础上，动脑分析总结出结论，不仅充分发挥学生主体作用，而且培养了学生分析问题的能力．

提出问题：请同学们观察图5的图形，两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？

学生活动：学生观察分析思考，会很容易地答出内错角相等，同分内角互补．

师：教师继续提问，你能论述为什么内错角相等，同旁内角互补吗？同学们可以讨论一下．

学生活动：学生们思考，并相互讨论后，有的同学举手回答．

【教法说明】在前面复习引入的第2题的基础上，通过学生的观察、分析、讨论，此时学生已能够进行推理，在这里教师不必包办代替，要充分调动学生的主动性和积极性，进而培养学生分析问题的能力，在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣．

教师根据学生回答，给予肯定或指正的同时板书．

［板书］∵（已知），∴（两条直线平行，同位角相等）．

∵（对项角相等），∴（等量代换）．

师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？

学生活动：同学们积极举手回答问题．

教师根据学生叙述，板书：

［板书］两条平行经被第三条直线所截，内错角相等．

简单说成：西直线平行，内错角相等．

师：下面清同学们自己推导同分内角是互补的，并归纳总结出平行线的第三条性质．请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成．

师生共同订正推导过程和第三条性质，形成正确板书．

［板书］∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）．

∵（邻补角定义），

∴（等量代换）．

即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

简单说成，两直线平行，同旁内角互补．

师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即它们的符号语言分别为：∵（已知见图6），∴（两直线平行，同位角相等）．∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）．∵（已知），∴．（两直线平行，同旁内角互补）（板书在三条性质对应位置上．）

尝试反馈，巩固练习

师：我们知道了平行线的性质，看复习引入的第3题，谁能解决这个问题呢？

学生活动：学生给出答案，并很快地说出理由．练习（出示投影片2）：

如图7，已知平行线、被直线所截：

（1）从，可以知道是多少度？为什么？（2）从，可以知道是多少度？为什么？（3）从，可以知道是多少度，为什么？

【教法说明】练习目的是巩固平行线的三条性质．

变式训练，培养能力

完成练习（出示投影片3）．

如图8是梯形有上底的一部分，已知量得，，梯形另外两个角各是多少度？

学生活动：在教师不给任何提示的情况下，让学生思考，可以相互之间讨论并试着在练习本上写出解题过程．

【教法说明】学生在小学阶段对于梯形的两底平行就已熟知，所以学生能够想到利用平行线的同旁内角互补来找和的大小．这里学生能够自己解题，教师避免包办代替，可以培养学生积极主动的学习意识，学会思考问题，分析问题．学生板演教师指正，在几何里我们每一步结论的得出都要有理有据，规范学生的解题思路和格式，培养学生严谨的学习态度，修改学生的板演过程，可形成下面的板书．

［板书］解：∵（梯形定义），∴，（两直线平行，同旁内角互补）．∴．∴．

变式练习（出示投影片4）

1．如图9，已知直线经过点，，，．

（1）等于多少度？为什么？

（2）等于多少度？为什么？

（3）、各等于多少度？

2．如图10，、、、在一条直线上，．

（1）时，、各等于多少度？为什么？

（2）时，、各等于多少度？为什么？

学生活动：学生独立完成，把理由写成推理格式．

【教学说明】题目中的为什么，可以用语言叙述，为了培养学生的逻辑推理能力，最好用推理格式说明．另外第2题在求得一个角后，另一个角的解法不惟一．对学生中出现的不同解法给予肯定，若学生未想到用邻补角求解，教师应启发诱导学生，从而培养学生的解题能力．

（四）总结、扩展

（出示投影片1第1题和投影片5）完成并比较．

如图11，

（1）∵（已知），

∴（）．

（2）∵（已知），

∴（）．

（3）∵（已知），

∴（）．

学生活动：学生回答上述题目的同时，进行观察比较．

师：它们有什么不同，同学们可以相互讨论一下．

（出示投影6）

学生活动：学生积极讨论，并能够说出前面是平行线的判定，后面是平行线的性质，由角的关系得到两条直线平行的结论是平行线的判定，反过来，由已知直线平行，得到角相等或互补的结论是平行线的性质．

【教法说明】通过有形的具体实例，使学生在有充足的感性认识的基础上上升到理性认识，总结出平行线性质与判定的不同．

巩固练习（出示投影片7）

1．如图12，已知是上的一点，是上的一点，，，．（1）和平行吗？为什么？

（2）是多少度？为什么？

学生活动：学生思考、口答．

【教法说明】这个题目是为了巩固学生对平行线性质与判定的联系与区别的掌握．知道什么条件时用判定，什么条件时用性质、真正理解、掌握并应用于解决问题．

八、布置作业

（一）必做题

课本第99～100页A组第11、12题．

（二）选做题

课本第101页B组第2、3题．

作业答案

A组11．（1）两直线平行，内错角相等．

（2）同位角相等，两直线平行．两直线平行，同旁内角互补．

（3）两直线平行，同位角相等．对顶角相等．

12．（1）∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）．

（2）∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同位角相等）．

B组2．∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）．

∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），（同上）．又∵（已证），∴．∴．又∵（平角定义），∴．

3．平行线的判定与平行线的性质，它们的题设和结论正好相反．

数学教案－平行线的性质

教学建议

1、教材分析

(1)知识结构

平行线的性质：

(2)重点、难点分析

本节内容的重点是平行线的性质．教材上明确给出了“两直线平行，同位角相等”推出“两直线平行，内错角相等”的证明过程．而且直接运用了“∵”、“∴”的推理形式，为学生创设了一个学习推理的环境，对逻辑推理能力是一个渗透．因此，这一节课有着承上启下的作用，比较重要．学生对推理证明的过程，开始可能只是模仿，但在逐渐地接触过程中，能最终理解证明的步骤和方法，并能完成有两步推理证明的填空．

本节内容的难点是理解平行线的性质与判定的区别，并能在推理中正确地应用它们．由于学生还没学习过命题的概念和命题的组成，不知道判定和性质的本质区别和联系是什么，用的时候容易出错．在教学中，可让学生通过应用和讨论体会到，如果已知角的关系，推出两直线平行，就是平行线的判定；反之，如果由两直线平行，得出角的关系，就是平行线的性质．

2、教法建议

由上面的重点、难点分析可知，这节课也是对前面所学知识的复习和应用．要有一定的综合性，推理能力也有较大的提高．知识多，也有了一些难度．但考虑到学生刚接触几何，进度不可过快，尽量多创造一些学习、应用定理、公理的机会，帮助学生理解平行线的判定与性质．

(1)讲授新课

首先，提出本节课的研究问题：如果两直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系吗？探究实验活动还是从画平行线开始，得出两直线平行，同位角相等后，再推导证明出其它的两个性质．教师可以用“∵”、“∴”的推理证明形式板书证明过程，学生在理解推理证明的过程中，欣赏到数学的严谨的美．

(2)综合应用

理解平行线的判定和性质区别，并能在推理过程中正确地应用它们成为了教学难点．老师可以设计一些有两步推理的证明题，让学生填充理由．在应用知识的过程中，组织学生进行讨论，结合题目的已知和结论，让学生自己总结出判定和性质的区别，只有自己构造起的知识，才能真正地被灵活应用．

(3)适当总结

几何的学习，既可以培养学生的逻辑思维能力，，也可以培养学生分析问题，解决问题的能力．对于好的学生，可以引导他们总结如何学好几何．注意文字语言，图形语言，符号语言间的相互转化．对简单的题目，能做到想得明白，写得清楚，书写逐渐规范．

教学目标：

1.使学生理解平行线的性质，能初步运用平行线的性质进行有关计算．

2.通过本节课的教学，培养学生的概括能力和“观察－猜想－证明”的科学探索方法，培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力．

3.培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性．

教学重点：平行线性质的研究和发现过程是本节课的重点．

教学难点：正确区分平行线的性质和判定是本节课的难点．

教学方法：开放式

教学过程：

一、复习

1.请同学们先复习一下前面所学过的平行线的判定方法，并说出它们的已知和结论分别是什么？

2、把这三句话已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？

3、是不是原本正确的话，颠倒一下前后顺序，得到新的一句话，是否一定正确？试举例说明。

如、“若a=b，则a2=b2”是正确的，但“若a2=b2，则a=b”是错误的。又如“对顶角相等”是正确的。但“相等的角是对顶角”则是错误的。因此，原本正确的话将它倒过来说后，它不一定正确，此时它的正确与否要通过证明。

二、新课

1、我们先看刚才得到的第一句话“两直线平行，同位角相等”。先在请同学们画两条平行线，然后画几条直线和平行线相交，用量角器测量一下，它们产生的几组同位角是否相等？

上一节课，我们学习的是“同位角相等，两直线平行”，此时，两直线是否平行是未知的，要我们通过同位角是否相等来判定，即是用来判定两条直线是否平行的，故我们称之为“两直线平行的判定公理”。而这句话，是“两直线平行，同位角相等”是已知“平行”从而得到“同位角相等”，因为平行是作为已知条件，因此，我们把这句话称为“平行线的性质公理”，即：两条平行线被第三条线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。

2、现在我们来用这个性质公理，来证明另两句话的正确性。

想想看，“两直线平行，内错角相等”这句话有哪些已知条件，由哪些图形组成？

已知：如图，直线a∥b

求证：（1）∠1＝∠4；（2）∠1＋∠2＝180°

证明：∵a∥b（已知）

∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）

又∵∠3＝∠4（对顶角相等）

∴∠1＝∠4

（2）∵a∥b（已知）

∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）

又∵∠2＋∠3＝180°（邻补角的定义）

∴∠1＋∠2＝180°

思考：如何用（1）来证明（2）？

例1、如图，是梯形有上底的一部分，已经量得∠1＝115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？

解：∵梯形上下底互相平行

∴∠A与∠B互补，∠D与∠C互补

∴∠B＝180°－115°＝65°

∠C－180°－100°＝80°

答：梯形的另外两个角分别是65，80°

练习：P791、2、3

小结：平行性质与判定的区别

作业：P879、10

数学教案－比例线初中教案精选

教学建议

知识结构

重难点分析

本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.以前的平面几何主要研究线段的位置关系和相等关系，从本章开始研究线段及相关图形的比例关系――相似三角形，这些内容的研究都离不开线段的比和比例性质的应用.

本节的难点是比例性质及应用，虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但由于内容比较简单，而且间隔时间较长，学生印象并不深刻，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，合分比性质以及等比性质学生又是初次接触，内容不但多，而且容易混淆，作题不知应用哪条性质，不知如何应用是常有的.

教法建议

1．生活中比例的例子比比皆是，在新课引入时最好从生活实例引入，可使学生感觉轻松自然，容易产生兴趣，增加学生学习的主动性

2．小学时曾学过数的比及相关概念，学习时也可以复习引入，从数的比过渡到线段的比，渗透类比思想

3．这一节概念比较多，也比较容易混淆，教学中可设计不同层次的题组来进行巩固，特别是要举一些反例，同时要注意对相近概念的比较

4．黄金分割的内容要求学生理解，主要体现数学美，可由学生从生活中寻找实例，激发学生的兴趣和参与感

5．比例性质由于变式多，理解和应用上容易出现错误，教学时可利用等式性质和分式性质来处理

教学设计示例1

（第1课时）

一、教学目标

1．理解线段的比的概念．

2．通过与小学知识到比较，初步培养学生“类比”的数学思想．

3．通过线段的比的有关计算，培养学习的计算能力．

4．通过“引言”及“例1”的教学，激发学生学习兴趣，对学生进行热爱爱国主义教育．

二、教学设计

先学后做，启发引导

三、重点及难点

1．教学重点两条线段比的概念．

2．教学难点正确理解两条线段的比及应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

股影仪、胶片、常用画图工具

六、教学步骤

【复习提问】

找学生回答小学学过的比、比的前项和后项的概念．

（两个数相除又叫做两数的比，记作或a：b，其中a叫比的前项，b叫比的后项）

【讲解新课】

把学生分成三组，分别以米、厘米、毫米作为长度单位，量一下几何教材的长与宽（令长为a，宽为b）．再求出长与宽的比．然后找三名同学把结果写在黑板上．如：

等．

可以看出，在同一长度单位下，两条线段长度的比就是两条线段的比．

一般地：若a、b的长度分别是m、n（单位相同），那么就说这两条线段的比是，或写成，和数的比一样，a叫比的前项，b叫比的后项．

关于两条线段比的概念，教学中要揭示它的实质，即表示a是b的k倍，这是学生已有的知识，较易理解，也容易使学生注意到求比时，长度单位要一致．另外，可组织学生举例实际生活中两条线段的比的问题，充分调动学生联系实际和积极思维的能力，对活跃课堂气氛也很有利，但教师需注意尺度．

就刚才三组学生做过的练习及问题回答，在教师启发和点拨下，让学生讨论或试述两条线段的比应注意的问题，归纳出：

（l）两条线段的比就是它们的长度的比．

（2）比与所选线段的长度单位无关，求比时，两条线段的长度单位要一致．

（3）两条线段的比值总是正数．（并不都是正数）

（4）除了a＝b之外，．与互为倒数．

例1见教材P202．

讲解完例1后：

（l）提问学生AB是的多少倍，是AB的多少倍，以加深学生对线段比的逾义的理解．

（2）给出：比例尺＝，就例1的图上，若图距是8cm的两地，实际距离是多少？

另外，还可鼓励学生课后根据地图上的比例尺，测量并计算出你所在省会与首都北京的直线距离，从而丰富了知识，激发了学习兴趣．

例2见教材P202．

讲解完例2后：

（l）可改变线段AB的长度，或给出AC、BC的长度，再求这些比，使学生认识这种三角形中边的比与长度无关．

（2）常识1：有一锐角是30°的直角三角形中，三边（从小到大）的比为．

常识2：等腰直角三角形三边（从小到大）的比为1：1：．

学生掌握了这些常识可有两点好处：

①知道例2中“”以及习题5．l第2题（1）中“边长为4”．（2）中的“对角线AC＝a”这些条件实际上都是多余的．

【小结】

1．两条线段比的概念以及应注意的问题．

2．会求两条线段的比．

七、布置作业

教材P210中2、3．

八、板书设计

数学教案－平行线的特征的教学方案

课题：平行线的特征

1、经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

2、经历探索平行线特征的过程，掌握平行线的特征，并能解决一些问题。

教材设置了一个通过测量探索平行线特征的活动，在活动中，鼓励学生充分交流，运用多种方法进行探索，尽可能地发现有关事实，并能应用平行线的性质解决一些问题，运用自己的语言说明理由，使学生的推理能力和语言表达能力得到提高。

平行线的特征的探索

运用平行线的特征进行有条理的分析、表达

为学生提供充足的探索与交流的时间和空间，重视学生在实际操作以及在操作过程中的思考，使学生的空间观念、推理能力得到培养。

一、巩固旧知，问题引入。

巩固平行线的判定方法，并引导学生分析平行线的判定是由一些角的关系得出平行的结论

在学生分析的基础上，提出若交换判定中的条件与结论，能否由“两直线平行”得出“同位角相等”等一些角的关系，从而引入课题。

二、实验验证，探索特征。

1、教室的窗户的横格是平行的，请看老师用三角尺去检验一对同位角，看看结果怎样？（教师用三角尺在窗户上演示，学生观察并思考）

2、学生实验（发印好平行线的纸单）

（1）已知，a//b，任意画一条直线c与平行线a、b相交。

（2）任选一对同位角，用适当的方法实验，看看这一对同位角有什么关系

（要求学生多画几条截线试试，鼓励学生用多种方法进行探索）

3、实验结论：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简记为“两直线平行，同位角相等”

识记该性质，并讨论在这个特征中，已知的是什么，结论是什么？它与前面学过的“同位角相等，两直线平行”有什么不同？

4、问题讨论：

我们知道两条平行线被第三条直线所截，不但形成有同位角，还有内错角、同旁内角。我们已经知道“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。那么请同学们想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角有什么关系呢

如图，已知直线a//b，思考∠1与∠2、∠2与∠3之间有什么关系？为什么？

（小组讨论，给予充足的时间交流，可引导学生

与同位角进行比较，从而得出结论，关注学生在

此能否积极地、有条理地思考）

结论：“两直线平行，内错角相等”

“两直线平行，同旁内角互补”

5、归纳平行线的三个性质及三个判定

三个性质：

三个判定：

三、例题学习，实践运用。

(一)找找看：

如图所示，AB∥CD，AC∥BD，分别找出与∠1相等或互补的角。

(学生可通过讨论交流找到所有的答案，

并标注在图中)

如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2,∠3=∠4,

(1)∠1、∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？

(2)反射光线BC与EF也平行吗？

（1）AB∥CD→∠1=∠3→∠2=∠4

（2）∠2=∠4→BC∥EF

如图是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=100°。已知梯形的两底AD//BC，请你求出另外两个角的度数。

数学教案－圆的比例线初中教案精选

教学建议

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明．

难点：正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆．

2、教学建议

本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2．第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3．

（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；

（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动．

第1课时：相交弦定理

教学目标：

1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；

2．学会作两条已知线段的比例中项；

3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；

4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．

教学重点：

正确理解相交弦定理及其推论．

教学难点：

在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理．

教学活动设计

（一）设置学习情境

1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）

①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．

②进一步得出：△APC∽△DPB．

．

③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?

组织学生观察，并回答．

2、证明：

已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P．

求证：PAPB＝PCPD．

（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）

（证明略）

（二）定理及推论

1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PAPB＝PCPD．

2、从一般到特殊，发现结论．

对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P．

提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?

指出：PC2＝PAPB．

请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确．教师纠正，并板书．

推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PAPB．

若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

PC2＝PAPB；AC2＝APAB；CB2＝BPAB

（三）应用、反思

例1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长．

引导学生根据题意列出方程并求出相应的解．

例2已知：线段a，b．

求作：线段c，使c2＝ab．

分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．

作法：口述作法．

反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用．同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图．

练习1如图，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．

变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?

将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣

练习2如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的长．

练习3如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C．求证：PC2＝PAPB

引导学生分析：由APPB，联想到相交弦定理，于是想到延长CP交⊙O于D，于是有PCPD＝PAPB．又根据条件OP⊥PC．易证得PC＝PD问题得证．

（四）小结

知识：相交弦定理及其推论；

能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；

思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法．

（五）作业

教材P132中9，10；P134中B组4(1)．

第2课时切割线定理

教学目标：

1．掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；

2．掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．

教学重点：

理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．

教学难点：

定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点．

教学活动设计

（一）提出问题

1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点．如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图1)

当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？

2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PAPB．

3、证明：

让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想．

分析：要证PT2=PAPB，可以证明，为此可证以PAPT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB．(图3)．容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证．

4、引导学生用语言表达上述结论．

切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

（二）切割线定理的推论

1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?

观察图4，提出猜想：PAPB=PCPD．

2、组织学生用多种方法证明：

方法一：要证PAPB=PCPD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB．(如图4)

方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB．容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P．因此△PAD∽△PCB．(如图5)

方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现．PT2=PAPB，同时PT2=PCPD，于是可以得出PAPB=PCPD．PAPB=PCPD

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）

（三）初步应用

例1已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米，PO=10.9厘米，求⊙O的半径．

分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．

（解略）教师示范解题．

例2已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，

求证：AE＝BF．

分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC＝BD，AD＝BC．因此它们的积相等，问题得证．

学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2＝ACCD和BF2＝BDDC等．

巩固练习：P128练习1、2题

（四）小结

知识：切割线定理及推论；

能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；

方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握．

（五）作业教材P132中，11、12题．

探究活动

最佳射门位置

国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米)．

分析与解如图1所示．AB是足球门，点P是边锋所在的位置．最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示．即OP是圆的切线，而OB是圆的割线．

故，又，

OB=30.34+7.32＝37.66．

OP=(米)．

注：上述解法适用于更一般情形．如图2所示．△BOP可为任意角．