数学教案－代数式的值教案模板

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当我们提起初中教学，你印象最深刻的一定是教案吧。教案可以围绕我们学校的各方面来写，每一位初中老师都要慎重考虑教案的设计，初中教案该怎么写？小编为大家收集整理了数学教案－代数式的值教案模板，希望能够帮助到您。

教学目标

1．使学生掌握代数式的值的概念，能用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值；

2．培养学生准确地运算能力，并适当地渗透特殊与一般的辨证关系的思想。

教学建议

1．重点和难点：正确地求出代数式的值。

2．理解代数式的值：

（1）一个代数式的值是由代数式中字母的取值而决定的．所以代数式的值一般不是一个固定的数，它会随着代数式中字母取值的变化而变化．因此在谈代数式的值时，必须指明在什么条件下．如：对于代数式；当时，代数式的值是0；当时，代数式的值是2．

（2）代数式中字母的取值必须确保做到以下两点：①使代数式有意义，②使它所表示的实际数量有意义，如：中不能取1，因为时，分母为零，式于无意义；如果式子中字母表示长方形的长，那么它必须大于0．

3．求代数式的值的一般步骤：

在代数式的值的概念中，实际也指明了求代数式的值的方法．即一是代入，二是计算．求代数式的值时，一要弄清楚运算符号，二要注意运算顺序．在计算时，要注意按代数式指明的运算进行．

4。求代数式的值时的注意事项：

（1）代数式中的运算符号和具体数字都不能改变。

（2）字母在代数式中所处的位置必须搞清楚。

（3）如果字母取值是分数时，作乘方运算必须加上小括号，将来学了负数后，字母给出的值是负数也必须加上括号。

5．本节知识结构：

本小节从一个应用代数式的实例出发，引出代数式的值的概念，进而通过两个例题讲述求代数式的值的方法.

6．教学建议

（1）代数式的值是由代数式里的字母所取的值决定的，因此在教学过程中，注意渗透对应的思想，这样有助于培养学生的函数观念．

（2）列代数式是由特殊到一般,而求代数式的值,则可以看成由一般到特殊,在教学中,可结合前一小节,适当渗透关于特殊与一般的辨证关系的思想.

教学设计示例

代数式的值（一）

教学目标

1使学生掌握代数式的值的概念，能用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值；

2培养学生准确地运算能力，并适当地渗透特殊与一般的辨证关系的思想。

教学重点和难点

重点和难点：正确地求出代数式的值

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认识结构提出问题

1用代数式表示：(投影)

(1)a与b的和的平方；(2)a，b两数的平方和；

(3)a与b的和的50%

2用语言叙述代数式2n+10的意义

3对于第2题中的代数式2n+10，可否编成一道实际问题呢?(在学生回答的基础上，教师打投影)

某学校为了开展体育活动，要添置一批排球，每班配2个，学校另外留10个，如果这个学校共有n个班，总共需多少个排球?

若学校有15个班(即n=15)，则添置排球总数为多少个?若有20个班呢?

最后，教师根据学生的回答情况，指出：需要添置排球总数，是随着班数的确定而确定的；当班数n取不同的数值时，代数式2n+10的计算结果也不同，显然，当n=15时，代数式的值是40；当n=20时，代数式的值是50我们将上面计算的结果40和50，称为代数式2n+10当n=15和n=20时的值这就是本节课我们将要学习研究的内容

二、师生共同研究代数式的值的意义

1用数值代替代数式里的字母，按代数式指明的运算，计算后所得的结果，叫做代数式的值

2结合上述例题，提出如下几个问题：

(1)求代数式2x+10的值，必须给出什么条件?

(2)代数式的值是由什么值的确定而确定的?

当教师引导学生说出：“代数式的值是由代数式里字母的取值的确定而确定的”之后，可用图示帮助学生加深印象

然后，教师指出：只要代数式里的字母给定一个确定的值，代数式就有唯一确定的值与它对应

(3)求代数式的值可以分为几步呢?在“代入”这一步，应注意什么呢?

下面教师结合例题来引导学生归纳，概括出上述问题的答案(教师板书例题时，应注意格式规范化)

例1当x=7，y=4，z=0时，求代数式x(2x-y+3z)的值

解：当x=7，y=4，z=0时，

x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)

=7×(14-4)

=70

注意：如果代数式中省略乘号，代入后需添上乘号

例2根据下面a，b的值，求代数式a2-的值

(1)a=4，b=12，(2)a=1，b=1

解：(1)当a=4，b=12时，

a2-=42-=16-3=13；

(2)当a=1，b=1时，

a2-=-=

注意(1)如果字母取值是分数，作乘方运算时要加括号；

(2)注意书写格式，“当……时”的字样不要丢；

(3)代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义，如此例中a不能为零，在代数式2n+10中，n是代数班的个数，n不能取分数最后，请学生总结出求代数值的步骤：①代入数值②计算结果

三、课堂练习

1(1)当x=2时，求代数式x2-1的值；

(2)当x=，y=时，求代数式x(x-y)的值

2当a=，b=时，求下列代数式的值：

(1)(a+b)2；(2)(a-b)2

3当x=5，y=3时，求代数式的值

答案：1.(1)3；(2)；2.(1)；(2)；3..

四、师生共同小结

首先，请学生回答下面问题：

1本节课学习了哪些内容?

2求代数式的值应分哪几步?

3在“代入”这一步应注意什么”

其次，结合学生的回答，教师指出：(1)求代数式的值，就是用数值代替代数式里的字母按照代数式的运算顺序，直接计算后所得的结果就叫做代数式的值；(2)代数式的值是由代数式里字母所取值的确定而确定的.

五、作业

当a=2，b=1，c=3时，求下列代数式的值：

(1)c-(c-a)(c-b)；(2).

代数式的值（二）

教学目标

1．使学生掌握代数式的值的概念，会求代数式的值；

2．培养学生准确地运算能力，并适当地渗透对应的思想．

教学重点和难点

重点：当字母取具体数字时，对应的代数式的值的求法及正确地书写格式．

难点：正确地求出代数式的值．

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认识结构提出问题

1．用代数式表示：(投影)

(1)a与b的和的平方；(2)a，b两数的平方和；

(3)a与b的和的50%．

2．用语言叙述代数式2n+10的意义．

3．对于第2题中的代数式2n+10，可否编成一道实际问题呢？(在学生回答的基础上，教师打出投影)

某学校为了开展体育活动，要添置一批排球，每班配2个，学校另外留10个，如果这个学校共有n个班，总共需多少个排球？

若学校有15个班(即n=15)，则添置排球总数为多少个？若有20个班呢？

最后，教师根据学生的回答情况，指出：需要添置排球总数，是随着班数的确定而确定的；当班数n取不同的数值时，代数式2n+10的计算结果也不同，显然，当n=15时，代数式的值是40；当n=20时，代数式的值是50．我们将上面计算的结果40和50，称为代数式2n+10当n=15和n=20时的值．这就是本节课我们将要学习研究的内容．

二、师生共同研究代数式的值的意义

1．用数值代替代数式里的字母，按代数式指明的运算，计算后所得的结果，叫做代数式的值．

2．结合上述例题，提出如下几个问题：

(1)求代数式2n+10的值，必须给出什么条件？

(2)代数式的值是由什么值的确定而确定的？

当教师引导学生说出：“代数式的值是由代数式

里字母的取值的确定而确定的”之后，可用图示帮助

学生加深印象．

然后，教师指出：只要代数式里的字母给定一个确定的值，代数式就有唯一确定的值与它对应．

(3)求代数式的值可以分为几步呢？在“代入”这一步，应注意什么呢？

下面教师结合例题来引导学生归纳，概括出上述问题的答案．(教师板书例题时，应注意格式规范化)

例1当x=7，y=4，z=0时，求代数式x(2x-y+3z)的值．

解：当x=7，y=4，z=0时，

x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)

=7×(14-4)

=70．

注意：如果代数式中省略乘号，代入后需添上乘号．

解：(1)当a=4，b=12时，

a2-=42-=16-3=13；

注意(1)如果字母取值是分数，作乘方运算时要加括号；

(2)注意书写格式，“当……时”的字样不要丢；

(3)代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义，如此例中a不能为零，在代数式2n+10中，n是代数班的个数，n不能取分数．

最后，请学生总结出求代数值的步骤：

①代入数值②计算结果

三、课堂练习

1．(1)当x=2时，求代数式x2-1的值；

2．填表：(投影)

(1)(a+b)2；(2)(a-b)2．

四、师生共同小结

首先，请学生回答下面问题：

1．本节课学习了哪些内容？2．求代数式的值应分哪几步？

3．在“代入”这一步应注意什么？

其次，结合学生的回答，教师指出：(1)求代数式的值，就是用数值代替代数式里的字母，按照代数式的运算顺序，直接计算后所得的结果就叫做代数式的值；(2)代数式的值是由代数式里字母所取值的确定而确定的．

五、作业

1．当a=2，b=1，c=3时，求下列代数式的值：

2．填表

3．填表

课堂教学设计说明

由于代数式的值是由代数式里的字母所取的值决定的，因此在设计教学过程中，注意渗透对应的思想，这样有助于培养学生的函数观念。

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数学教案－列代数式教案模板

教学目标

1．使学生在了解代数式概念的基础上，能把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来。

2．初步培养学生观察、分析和抽象思维的能力。

3.通过运用多媒体手段的教学，激发学生学习数学的兴趣，增强学生自主学习的能力。

教学建议

1．教学重点、难点

重点：列代数式。

难点：弄清楚语句中各数量的意义及相互关系。

2．本节知识结构：

本小节是在前面代数式概念引出之后，具体讲述如何把实际问题中的数量关系用代数式表示出来。课文先进一步说明代数式的概念，然后通过由易到难的三组例子介绍列代数式的方法。

3．重点、难点分析：

列代数式实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转化。列代数式首先要弄清语句中各种数量的意义及其相互关系，然后把各种数量用适当的字母来表示，最后再把数及字母用适当的运算符号连接起来，从而列出代数式。

如：用代数式表示：比的2倍大2的数。

分析本题属于“…比…多（大）…或…比…少（小）”的类型，首先要抓住这几个关键词。然后从中找出谁是大数，谁是小数，谁是差。比的2倍大2的数换个方式叙述为所求的数比的2倍大2。大和比前边的量，即所求的数为大数，那么比和大之间量，即的2倍则为小数，大后边的量2即为差。所以本小题是已知小数和差求大数。因为大数=小数+差，所以所求的数为：2+2.

4．列代数式应注意的问题：

（1）要分清语言叙述中关键词语的意义，理清它们之间的数量关系。如要注意题中的“大”，“小”，“增加”，“减少”，“倍”，“倒数”，“几分之几”等词语与代数式中的加，减，乘，除的运算间的关系。

（2）弄清运算顺序和括号的使用。一般按“先读先写”的原则列代数式。

（3）数字与字母相乘时数字写在前面，乘号省略不写，字母与字母相乘时乘号省略不写。

（4）在代数式中出现除法时，用分数线表示。

5．教法建议：

列代数式是本章教学的一个难点，学生不容易掌握，这样老师在上课时，首先要让学生理解代数式的本质，弄清语句中各种数量的意义及其相互关系，然后设计一定数量的练习题，由易到难，螺旋式上升，使学生能够正确列出代数式。

教学设计示例

列代数式

教学目标

1．使学生在了解代数式概念的基础上，能把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来;

2．初步培养学生观察、分析和抽象思维的能力.

教学重点和难点

重点：列代数式.

难点：弄清楚语句中各数量的意义及相互关系.

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1用代数式表示乙数：(投影)

(1)乙数比x大5；(x+5)

(2)乙数比x的2倍小3；(2x-3)

(3)乙数比x的倒数小7；(-7)

(4)乙数比x大16%((1+16%)x)

(应用引导的方法启发学生解答本题)

2在代数里，我们经常需要把用数字或字母叙述的一句话或一些计算关系式，列成代数式，正如上面的练习中的问题一样，这一点同学们已经比较熟悉了，但在代数式里也常常需要把用文字叙述的一句话或计算关系式(即日常生活语言)列成代数式本节课我们就来一起学习这个问题

二、讲授新课

例1用代数式表示乙数：

(1)乙数比甲数大5；(2)乙数比甲数的2倍小3；

(3)乙数比甲数的倒数小7；(4)乙数比甲数大16%

分析：要确定的乙数，既然要与甲数做比较，那么就只有明确甲数是什么之后，才能确定乙数，因此写代数式以前需要把甲数具体设出来，才能解决欲求的乙数

解：设甲数为x，则乙数的代数式为

(1)x+5(2)2x-3；(3)-7；(4)(1+16%)x

(本题应由学生口答，教师板书完成)

最后，教师需指出：第4小题的答案也可写成x+16%x

例2用代数式表示：

(1)甲乙两数和的2倍；

(2)甲数的与乙数的的差；

(3)甲乙两数的平方和；

(4)甲乙两数的和与甲乙两数的差的积；

(5)乙甲两数之和与乙甲两数的差的积

分析：本题应首先把甲乙两数具体设出来，然后依条件写出代数式

解：设甲数为a，乙数为b，则

(1)2(a+b)；(2)a-b；(3)a2+b2；

(4)(a+b)(a-b)；(5)(a+b)(b-a)或(b+a)(b-a)

(本题应由学生口答，教师板书完成)

此时，教师指出：a与b的和，以及b与a的和都是指(a+b)，这是因为加法有交换律但a与b的差指的是(a-b)，而b与a的差指的是(b-a)两者明显不同，这就是说，用文字语言叙述的句子里应特别注意其运算顺序

例3用代数式表示：

(1)被3整除得n的数；

(2)被5除商m余2的数

分析本题时，可提出以下问题：

(1)被3整除得2的数是几?被3整除得3的数是几?被3整除得n的数如何表示?

(2)被5除商1余2的数是几?如何表示这个数?商2余2的数呢?商m余2的数呢?

解：(1)3n；(2)5m+2

(这个例子直接为以后让学生用代数式表示任意一个偶数或奇数做准备)

例4设字母a表示一个数，用代数式表示：

(1)这个数与5的和的3倍；(2)这个数与1的差的；

(3)这个数的5倍与7的和的一半；(4)这个数的平方与这个数的的和

分析：启发学生，做分析练习如第1小题可分解为“a与5的和”与“和的3倍”，先将“a与5的和”例成代数式“a+5”再将“和的3倍”列成代数式“3(a+5)”

解：(1)3(a+5)；(2)(a-1)；(3)(5a+7)；(4)a2+a

(通过本例的讲解，应使学生逐步掌握把较复杂的数量关系分解为几个基本的数量关系，培养学生分析问题和解决问题的能力)

例5设教室里座位的行数是m，用代数式表示：

(1)教室里每行的座位数比座位的行数多6，教室里总共有多少个座位?

(2)教室里座位的行数是每行座位数的，教室里总共有多少个座位?

分析本题时，可提出如下问题：

(1)教室里有6行座位，如果每行都有7个座位，那么这个教室总共有多少个座位呢?

(2)教室里有m行座位，如果每行都有7个座位，那么这个教室总共有多少个座位呢?

(3)通过上述问题的解答结果，你能找出其中的规律吗?(总座位数=每行的座位数×行数)

解：(1)m(m+6)个；(2)(m)m个

三、课堂练习

1设甲数为x，乙数为y，用代数式表示：(投影)

(1)甲数的2倍，与乙数的的和；(2)甲数的与乙数的3倍的差；

(3)甲乙两数之积与甲乙两数之和的差；(4)甲乙的差除以甲乙两数的积的商

2用代数式表示：

(1)比a与b的和小3的数；(2)比a与b的差的一半大1的数；

(3)比a除以b的商的3倍大8的数；(4)比a除b的商的3倍大8的数

3用代数式表示：

(1)与a-1的和是25的数；(2)与2b+1的积是9的数；

(3)与2x2的差是x的数；(4)除以(y+3)的商是y的数

〔(1)25-(a-1)；(2)；(3)2x2+2；(4)y(y+3)〕

四、师生共同小结

首先，请学生回答：

1怎样列代数式?2列代数式的关键是什么?

其次，教师在学生回答上述问题的基础上，指出：对于较复杂的数量关系，应按下述规律列代数式：

(1)列代数式，要以不改变原题叙述的数量关系为准(代数式的形式不唯一)；

(2)要善于把较复杂的数量关系，分解成几个基本的数量关系；

(3)把用日常生活语言叙述的数量关系，列成代数式，是为今后学习列方程解应用题做准备要求学生一定要牢固掌握

五、作业

1用代数式表示：

(1)体校里男生人数占学生总数的60%，女生人数是a，学生总数是多少?

(2)体校里男生人数是x，女生人数是y，教练人数与学生人数之比是1∶10，教练人数是多?

2已知一个长方形的周长是24厘米，一边是a厘米，

求：(1)这个长方形另一边的长；(2)这个长方形的面积.

学法探究

已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将100个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度是多少厘米？

分析：先深入研究一下比较简单的情形，比如三个圆环接在一起的情形，看有没有规律.

当圆环为三个的时候，如图：

此时链长为，这个结论可以继续推广到四个环、五个环、…直至100个环，答案不难得到：

解：

=99a+b(cm)

代数式的教学方案

教学目标

1．使学生认识字母表示数的意义，了解字母表示数是数学的一大进步；

2．了解的概念，使学生能说出一个所表示的数量关系；

3．通过对用字母表示数的讲解，初步培养学生观察和抽象思维的能力；

4．通过本节课的教学，使学生深刻体会从特殊到一般的的数学思想方法。

教学建议

1．知识结构：本小节先回顾了小学学过的字母表示的两种实例，一是运算律，二是公式，从中看出字母表示数的优越性，进而引出的概念。

2．教学重点分析：教科书，介绍了小学用字母表示数的实例，一个是运算律，一个是常用公式，上述两种例子应用广泛，且能很好地体现用字母表示数所具有的简明、普遍的优越性，用字母表示是数学从算术到代数的一大进步，是代数的显著特点。运用算术的方法解决问题，是小学学生的思维方法，现在，从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了抽象概括的思维方法，在认识上是一个质的飞跃。对的概念课文没有直接给出，而是用实例形象地说明了的概念。对的概念可以从三个方面去理解：

（1）从具体的数到用字母表示数,是抽象思维的开始,体现了特殊与一般的辨证关系,用字母表示数具有简明、普遍的优越性.

（2）中并不要求数和表示数的字母同时出现，单独的一个数和字母也是．如：2，都是．

（3）是用基本的运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子,一定要弄清一个有几种运算和运算顺序。不含表示关系的符号，如等号、不等号．如，，等都是，而，，，等都不是．

3．教学难点分析：能正确说出一个的数量关系，即用语言表达的意义，一定要理清中含有的各种运算及其顺序。用语言表达的意义，具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点。

如：说出7（a－3）的意义。

分析7（a－3）读成7乘a减3，这样就产生歧义，究竟是7a－3呢？还是7（a－3）呢？有模棱两可之感。7（a－3）的最后运算是积，应把a－3作为一个整体。所以，7（a－3）的意义是7与（a－3）的积。

4．书写的注意事项：

（1）中数字与字母或者字母与字母相乘时，通常把乘号简写作“·”或省略不写，同时要求数字应写在字母前面．如，应写作或写作，应写作或写作．带分数与字母相乘，应把带分数化成假分数，如应写成．数字与数字相乘一般仍用“×”号.

（2）中有除法运算时，一般按照分数的写法来写．如：应写作

（3）含有加减运算的需注明单位时，一定要把整个式子括起来．

5．对本节例题的分析：

例1是用表示几个比较简单的数量关系，这些小学都学过.比较复杂一些的数量关系的表示,课文安排在下一节中专门介绍.

例2是说出一些比较简单的的意义.因为中用字母表示数,所以把字母也看成数,一种特殊的数,就可以像看待原来比较熟悉的数式一样,说出一个所表示的数量关系,只是另外还要考虑乘号可能省略等新规定而已.

6．教法建议

（1）因为这一章知识大部分在小学学习过，讲授新课之前要先复习小学学过的运算律，在学生原有的认知结构上，提出新的问题。这样即复习了旧知识，又引出了新知识，能激发学生的学习兴趣。在教学中，一定要注意发挥本章承上启下的作用，搞好小学数学与初中代数的衔接，使学生有一个良好的开端。

（2）在本节的学习过程中,要使学生理解的概念,首先要给学生多举例子（学生比较熟悉、贴近现实生活的例子），使学生从感性上认识什么是,理清中的运算和运算顺序,才能正确说出一个所表示的数量关系,从而认识字母表示数的意义——普遍性、简明性，也为列做准备。

（3）条件比较好的学校，老师可选用一些多媒体课件，激发学生的学习兴趣，增强学生自主学习的能力。

（4）老师在讲解第一节之前，一定要对全章内容和课时安排有一个了解，注意前后知识的衔接，只有这样，我们老师才能教给学生系统的而不是一些零散的知识，久而久之，学生头脑中自然会形成一个完整的知识体系。

（5）因为是新学期代数的第一节课，老师一定要给学生一个好印象，好的开端等于成功了一半。那么，怎么才能给学生留下好印象呢？首先，你要尽量在学生面前展示自己的才华。比如，英语口语好的老师，可以用英语做一个自我介绍，然后为学生说一段祝福语。第二，上课时尽量使用多种语言与学生交流，其中包括情感语言（眉目语言、手势语言等），让学生感受到老师对他的关心。

7．教学重点、难点：

重点：用字母表示数的意义

难点：学会用字母表示数及正确说出一个所表示的数量关系。

教学设计示例

教学目标

1．使学生认识字母表示数的意义，了解字母表示数是数学的一大进步；

2．了解的概念，使学生能说出一个所表示的数量关系；

3．通过对用字母表示数的讲解，初步培养学生观察和抽象思维的能力；

4．通过本节课的教学，使学生深刻体会从特殊到一般的的数学思想方法.

教学重点和难点

重点：用字母表示数的意义

难点：学会用字母表示数及正确地说出所表示的数量关系

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1在小学我们曾学过几种运算律?都是什么?如可用字母表示它们?

(通过启发、归纳最后师生共同得出用字母表示数的五种运算律)

(1)加法交换律a+b=b+a；

(2)乘法交换律a·b=b·a；

(3)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)；

(4)乘法结合律(ab)c=a(bc)；

(5)乘法分配律a(b+c)=ab+ac

指出：(1)“×”也可以写成“·”号或者省略不写，但数与数之间相乘，一般仍用“×”;

(2)上面各种运算律中，所用到的字母a，b，c都是表示数的字母，它代表我们过去学过的一切数

2(投影)从甲地到乙地的路程是15千米，步行要3小时，骑车要1小时，乘汽车要0.25小时，试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是多少?

3若用s表示路程，t表示时间，ν表示速度，你能用s与t表示ν吗?

4(投影)一个正方形的边长是a厘米，则这个正方形的周长是多少?面积是多少?

(用I厘米表示周长，则I=4a厘米；用S平方厘米表示面积，则S=a2平方厘米)

此时，教师应指出：(1)用字母表示数可以把数或数的关系，简明的表示出来；(2)在公式与中，用字母表示数也会给运算带来方便；(3)像上面出现的a，5，15÷3，4a，a+b，以及a2等等都叫.那么究竟什么叫呢?的意义又是什么呢?这正是本节课我们将要学习的内容.

三、讲授新课

1

单独的一个数字或单独的一个字母以及用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫.学习代数，首先要学习用表示数量关系，明确代数上的意义

2举例说明

例1填空：

(1)每包书有12册，n包书有__________册；

(2)温度由t℃下降到2℃后是_________℃；

(3)棱长是a厘米的正方体的体积是_____立方厘米；

(4)产量由m千克增长10%，就达到_______千克

(此例题用投影给出，学生口答完成)

解：(1)12n；(2)(t-2)；(3)a3；(4)(1+10%)m

例2说出下列的意义：

(1)2a+3(2)2(a+3)；(3)(4)a-(5)a2+b2(6)(a+b)2

解：(1)2a+3的意义是2a与3的和；(2)2(a+3)的意义是2与(a+3)的积；

(3)的意义是c除以ab的商；(4)a-的意义是a减去的差；

(5)a2+b2的意义是a，b的平方的和；(6)(a+b)2的意义是a与b的和的平方

说明：(1)本题应由教师示范来完成；

(2)对于的意义，具体说法没有统一规定，以简明而不致引起误会为出发点如第(1)小题也可以说成“a的2倍加上3”或“a的2倍与3的和”等等

例3用表示：

(1)m与n的和除以10的商；

(2)m与5n的差的平方；

(3)x的2倍与y的和；

(4)ν的立方与t的3倍的积

分析：用表示用语言叙述的数量关系要注意：①弄清中括号的使用；②字母与数字做乘积时，习惯上数字要写在字母的前面

解：(1)；(2)(m-5n)2(3)2x+y；(4)3tν3

四、课堂练习

1填空：(投影)

(1)n箱苹果重p千克，每箱重_____千克；

(2)甲身高a厘米，乙比甲矮b厘米，那么乙的身高为_____厘米；

(3)底为a，高为h的三角形面积是______；

(4)全校学生人数是x，其中女生占48%，则女生人数是____，男生人数是____

2说出下列的意义：(投影)

(1)2a-3c；(2)；(3)ab+1；(4)a2-b2

3用表示：(投影)

(1)x与y的和；(2)x的平方与y的立方的差；

(3)a的60%与b的2倍的和；(4)a除以2的商与b除3的商的和

五、师生共同小结

首先，提出如下问题：

1本节课学习了哪些内容?2用字母表示数的意义是什么?

3什么叫?

教师在学生回答上述问题的基础上，指出：①实际上就是算式，字母像数字一样也可以进行运算；②在和运算结果中，如有单位时，要正确地使用括号

六、作业

1一个三角形的三条边的长分别的a，b，c，求这个三角形的周长

2张强比王华大3岁，当张强a岁时，王华的年龄是多少?

3飞机的速度是汽车的40倍，自行车的速度是汽车的，若汽车的速度是ν千米/时，那么，飞机与自行车的速度各是多少?

4a千克大米的售价是6元，1千克大米售多少元?

5圆的半径是R厘米，它的面积是多少?

6用表示：

(1)长为a，宽为b米的长方形的周长；

(2)宽为b米，长是宽的2倍的长方形的周长；

(3)长是a米，宽是长的的长方形的周长；

(4)宽为b米，长比宽多2米的长方形的周长

数学教案－二次三项式的因式分解

一、教学目标

1．使学生理解二次三项式的意义；知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系；

2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；

3．通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力；

4．通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；

5．通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。

二、重点难点疑点及解决办法

1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。

2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。

3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。

4．解决办法：二次三项式能分解因式

二次三项式不能分解

二次三项式分解成完全平方式

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）写出关于x的二次三项式？

（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解。

①；②；③。

由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。

2．新知讲解

（1）引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。

①；

解：原式变形为。

∴，

②；

解原方程可变为

观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。

（2）推导出公式

设方程的两个根为，那么，

∴

这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成

教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。

（3）公式的应用

例1把分解因式

解：∵方程的根是

教师板书，学生回答。

由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的，目的是化简①。

练习：将下列各式在实数范围因式分解。

（1）；（2）

学生板书、笔答，评价。

例2用两种方程把分解因式。

方法一，解：

方法二，解：，

方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法。

练习：将下列各式因式分解。

学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：

（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程，可变形为；但将二次三项式分解因式时，就不能将变形为。

例如用求根公式求得的两个根是后，得出这就错了，这是因为丢掉了系数2。

（2）还要注意符号方面的错误，比如下面的例子如果写成也是错误的。

（3）一元二次方程当时，方程有两个实根。当时，方程无实根。这就决定了：当时，二次三项式在实数范围内可以分解；当时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

（二）总结、扩展

1．用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将写成形式。

2．二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解；时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

3．通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。

四、布置作业

教材P38A1，2。

五、板书设计

数学教案－基本作图教案模板

教学目标：

1、知识目标：

（1）要掌握尺规作图的方法及一般步骤；

（2）掌握五种基本作图,明确尺规作图的意义。

2、能力目标：

（1）通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；

（2）通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.

3、情感目标：

（1）体验数学语言的简洁严谨。

（2）体会数学作图语言和图形的和谐统一。

教学重点：熟练掌握五个基本作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

教学用具：直尺，圆规

教学方法：讲练结合法

教学过程：

前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题．在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形．本节我们学习这种几何作图方法．

1、阅读教材，理解概念

学生阅读教材第一部分，并回答问题：

(1)尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．

(学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的．我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺)

(2)基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．

一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种基本作图，下面再介绍几种基本作图：

练习：作一条线段等于已知线段

2、讲解例题，熟悉语言

教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的．

1．作一个角等于已知角

分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假设∠AOB已作出，且∠AOB=∠AOB，如图2，在OA、OB、OA、OB上取点C、D、C、D，使OC=OD=OC=OD，那么△COD≌△COD．

由此可知，要作出∠AOB，使∠AOB=∠AOB，只要作出△OCD，使OC=OC，OD=OD，CD=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”．

作法：1、作射线

2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于

4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

5、经过点作射线。就是所求的角

证明：连结CD、CD，由作法可知

△COD≌△COD(SSS)

∴∠COD=∠COD(全等三角形对应角相等)．

即∠AOB=∠AOB．

说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明．注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单．如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了．

练习：如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．

首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规．

然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作．在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件．

作法可让学生或教师作图，学生叙述作法．

让学生写出证明过程．

2．平分已知角

前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

分析：如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB如图5

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．

（2）分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C．

(3)作射线OC．

OC就是所求的射线．

证明：连结CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等)．

即∠AOC=∠BOC．

小结：

(1)基本作图1、2有一个不同之点，即基本作图2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，基本作图1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠AOB作在∠AOB的近旁．

(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹)．

(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形．如基本作图中要写出“∠AOB就是所求的角．”

3．经过一点作已知直线的垂线

分两种情况来考虑：

(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．

(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线．

引导学生写出解题的全过程：已知、求作、作法、证明．关键地方和疑点要向学生解释清楚．

分析：现在要寻找“经过直线外一点作这条直线的垂线”的方法，能利用角平分线的作法吗？如图6，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OF，如果画出直线DE，那么∠AOB的平分线OF与直线DE垂直吗？为什么？

如果我们把D、E看成一条直线上的两点，那么点O就是这条直线外的一点，图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F，你会确定点F吗？

①已知：直线AB和AB上一点C，如图7．

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：证明引导学生写出．

②已知：直线AB和AB外一点C，如图8．

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：引导学生写出，要向学生说明所取的点K必须要使它和C在AB的两旁，通过反例说明不这样作不行的道理．对教材中略去的证明要让学生补出来．提示：连结CD、CE、FD、FE，设CF与AB交于点O．首先证明△CDF≌△CEF，再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，从而得∠DOF=∠EOF=90°．

4．作线段的垂直平分线

先让学生理解线段垂直平分线的概念．

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．

分析：在图6中OF是线段DE的垂直平分线吗？为什么？

想一想：确定线段DE的垂直平分线的关键是什么？

引导学生写出已知、求作、作法．参照1．让学生补上证明过程．以判定两个三角形全等的公理或推论为根据，做几何作图题的证明，一方面可以使学生确信作图的正确性；另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法．

因为直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

小结：

作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的：根据“SSS”公理，确定两点，从而确定所求直(射)线．

至此，基本作图共讲了5个，第一章中有一个“作一条线段等于已知线段”，本章又有4个．对于这些基本作图应该牢固掌握，灵活运用，因为它是几何作图的基础．反复练习5个基本作图，让学生熟悉解作图题的全过程，及时准确总结出几种常见几何作图语言即作图范句

例4、已知：线段

求作：，使

作法：1、作线段BC＝a

2、分别以点B、C为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A

3、连结AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知两角和其中一角的对边，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作线段

2、在BC的同侧作

DE、EC交于点A。

为所求的三角形

证明：（略）

让学生补充证明。

3、总结归纳，便于掌握

（一）常用的作图语言：

（1）过点、作线段或射线、直线；（2）连结两点、；（3）在线段或射线上截取＝；（4）以点为圆心，以的长为半径作圆（或画弧），交于点；（5）分别以点，点为圆心，以，的长为半径作弧，两弧相交于点；（6）延长到点，使＝。

（二）作图题说明

在作图中，有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

(1)作线段＝；（2）作∠＝∠；（3）作（射线）平分∠；

（4）过点作，垂足为点；（5）作线段的垂直平分线；

4、课堂练习，巩固内容

(1)平分已知角

(2)作线段的垂直平分线

学生板书并讲解,教师点评。

5、布置作业：

a、书面作业P88＃1

b、上交作业P88＃3、9

板书设计：

数学教案－正切余切教案模板

锐角的三角比

------正切和余切

一、教学目标：

1、理解锐角的正切、余切概念，能正确使用锐角的正切、余切的符号语言。

2、通过探究活动，培养学生观察、分析问题，归纳、总结知识的能力；通过题目的变式，培养用转化思想解决数学问题的能力；通过不同题型的训练，提高学生的通试能力；通过探索题的教学，培养学生的创新意识。

3、通过不同题型的训练，培养学生的数学学习素养，通过学习形式的变换，孕育学生的品质。

4、培养学生间良好的互动协作精神和对知识强烈的求知欲。

二、教学设计的指导思想：

贯彻“教为主导、学为主体、练为主线”的原则，引导学生自始至终地参与学习的全过程，让学生在探索过程中学得愉快、扎实、灵活，学会学习，发展能力。

三、重、难点及教学策略：

重点：锐角的正切、余切概念，探究能力的培养

难点：理解一个锐角确定的直角三角形的两边的比是一个确定的值。

策略：突出重点、突破难点。

四、教学准备：

U盘，电脑，一副三角板，一块三角形模型，网格纸

五、教学环节的流程简图：

创设问题情境——→问题的研究——→讲授新课——→归纳小结及布置作业

六、教学过程：

一）创设问题情境：

1、引领练习：

①在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=45°时，

随着三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值是否发生变化？

②在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，

随着三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值是否发生变化？

2、提出问题：

在Rt△ABC中，∠C=90°，一般情况下，

当∠A的大小确定，三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值是否发生变化？

二）问题的研究：

1、几何画板动画演示：

2、运用定理证明：

得出结论：在Rt△ABC中，∠C=90°，一般情况下，

当∠A的大小确定，三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值不变。

三）讲授新课：

课题：29.1正切和余切

1、基本概念：

①在Rt△ABC中，∠C=90°，

正切：tgA==

（tangent）（tanA）

（tg∠BAC）

余切：ctgA==

（cotA）

②tgA=

③若∠A+∠B=90°，则tgA=ctgB，ctgA=tgB

2、例题讲解：

例1：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝７，

①求ｔｇＡ的值．

②求ｔｇＢ的值．

③过Ｃ点作ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，求ｔｇ∠ＤＣＡ的值．

3、巩固练习：

①选择题：

1.在Rt△ABC中,∠C＝90°,若各边的长都扩大3倍,则∠B的正切值()

A.扩大3倍B.缩小为原来的C.没有变化D.扩大9倍

2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A和∠B的对边是a,b,则与的值相等的是()

A.tgAB.tgBC.ctgAD.ctgB

②解答题：

如图，△ＡＢＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°，Ｄ、Ｅ在ＢＣ上，ＡＣ＝４，

ＢＤ＝５，ＤＥ＝２，ＥＣ＝３，∠ＡＢＣ＝α，

∠ＡＤＣ＝β，∠ＡＥＣ＝γ，

求：①ｔｇα。

②ctgβ。

③ｔｇγ。

4、探索题：能否在网格纸中画一个Rt△,使其中一个锐角的正切值为。

四）小结：（略）

五）思考题：已知:在Rt△ABC中,∠C＝90°,tgA、tgB是方程的两根,求m.。

六）布置作业：

七、板书设计：（略）

八、教学随笔：（略）

数学教案－分式的基本性质教案模板

第一课时

（一）教学过程

【复习提问】

1．分式的定义？

2．分数的基本性质？有什么用途？

【新课】

1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：

分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：

，

（其中是不等于零的整式．）

2．加深对分式基本性质的理解：

例1下列等式的右边是怎样从左边得到的？

（1）；

由学生口述分析，并反问：为什么？

解：∵

∴．

（2）；

学生口答，教师设疑：为什么题目未给的条件？（引导学生学会分析题目中的隐含条件．）

解：∵

∴．

（3）

学生口答．

解：∵，

∴．

例2填空：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．

例3不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．

（1）；

分析学生讨论：①怎样才能不改变公式的值？②怎样把分子分母中各项系数都化为整数？

解：．

（2）．

解：．

例4判断取何值时，等式成立？

学生分组讨论后得出结果：

∴．

（二）随堂练习

1．当为何值时，与的值相等（）

A．B．C．D．

2．若分式有意义，则，满足条件为（）

A．B．C．D．以上答案都不对

3．下列各式不正确的是（）

A．B．

C．D．

4．若把分式的和都扩大两倍，则分式的值

A．扩大两倍B．不变

C．缩小两倍D．缩小四倍

（三）总结、扩展

1．分式的基本性质．

2．性质中的可代表任何非零整式．

3．注意挖掘题目中的隐含条件．

4．利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件．

（四）布置作业

教材P61中2、3；P62中B组的1

（五）板书设计

数学教案－多边形的内角教案模板

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和外角和定理．

2．了解四边形的不稳定性及它在实际生产，生活中的应用．

（二）能力训练点

1．通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力．

2．通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归思想．

3．会根据比较简单的条件画出指定的四边形．

4．讲解四边形外角概念和外角定理时，联系三角形的有关概念对学生渗透类比思想．

（三）德育渗透点

使学生认识到这些四边形都是常见的，研究他们都有实际应用意义，从而激发学生学习新知识的兴趣．

（四）美育渗透点

通过四边形内角和定理数学，渗透统一美，应用美．

二、学法引导

类比、观察、引导、讲解

三、重点难点疑点及解决办法

1．教学重点：四边形及其有关概念；熟练推导四边形外角和这一结论，并用此结论解决与四边形内外角有关计算问题．

2．教学难点：理解四边形的有关概念中的一些细节问题；四边形不稳定性的理解和应用．

3．疑点及解决办法：四边形的定义中为什么要有“在平面内”，而三角形的定义中就没有呢？根据指定条件画四边形，关键是要分析好作图的顺序，一般先作一个角．

四、课时安排

2课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、四边形模型、常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师引入新课，学生观察图形，类比三角形知识导出四边形有关概念；师生共同推导四边形内角和的定理，学生巩固内角和定理和应用；共同分析探索外角和定理，学生阅读相关材料．

第2课时

七、教学步骤

【复习提问】

1．什么叫四边形？四边形的内角和定理是什么？

2．如图4－9，求的度数（打出投影）．

【引入新课】

前面我们学习过三角形的外角的概念，并知道外角和是360°．类似地，四边形也有外角，而它的外角和是多少呢？我们还学习了三角形具有稳定性，而四边形就不具有这种性质，为什么？下面就来研究这些问题．

【讲解新课】

1．四边形的外角

与三角形类似，四边形的角的一边与另一边延长线所组成的角叫做四边形的外角，四边形每一个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，所以它们是相等的．四边形的外角与它有公共顶点的内角互为邻补角，即它们的和等于180°，如图4－10．

2．外角和定理

例1已知：如图4－11，四边形ABCD的四个内角分别为，每一个顶点处有一个外角，设它们分别为.

求.

(1)向学生介绍四边形外角和这一概念(取四边形的每一个内角的一个邻补角相加的和)．

(2)教给学生一组外角的画法——同向法．

即按顺时针方向依次延长各边，如图4—11，或按逆时针方向依次延长各边，如图4－12，这四个外角和就是四边形的外角和．

(3)利用每一个外角与其邻补角的关系及四边形内角和为360°．

证得：

360°

外角和定理：四边形的外角和等于360°

3．四边形的不稳定性

①我们知道三角形具有稳定性，已知三个条件就可以确定三角形的形状和大小，已知一边一夹角，作三角形你会吗？

（学生回答）

②若以为边作四边形ABCD．

提示画法：①画任意小于平角的．

②在的两边上截取．

③分别以A，C为圆心，以12mm，18mm为半径画弧，两弧相交于D点．

④连结AD、CD，四边形ABCD是所求作的四边形，如图4－13．

大家比较一下，所作出的图形的形状一样吗？这是为什么呢？因为的大小不固定，所以四边形的形状不确定．

③（教师演示：用四根木条钉成如图4－14的框）虽然四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形没有稳定性．

教师指出，“不稳定”是四边形的一个重要性质，还应使学生明确：

①四边形改变形状时只改变某些角的大小，它的边长不变，因而周长不变它仍为四边形，所以它的内角和不变．②对四条边长固定的四边形任何一个角固定或者一条对角线的长一定，四边形的形状就固定了，如教材P125中2的第H问，为克服不稳定性提供了理论根据．

（4）举出四边形不稳定性的应用实例和克服不稳定的实例，向学生进行理论联系实际的教育．

【总结、扩展】

1．小结：

（1）四边形外角概念、外角和定理．

（2）四边形不稳定性的应用和克服不稳定性的理论根据．

2．扩展：如图4－15，在四边形ABCD中，，求四边形ABCD的面积

八、布置作业

教材P128中4．

九、板书设计

十、随堂练习

教材P124中1、2

补充：（1）在四边形ABCD中，，是四边形的外角，且，则度.

（2）在四边形ABCD中，若分别与相邻的外角的比是1：2：3：4，则度，度，度，度

（3）在四边形的四个外角中，最多有_______个钝角，最多有_____个锐角，最多有____个直角.

数学教案－切线的判定性质教案模板

切线的判定和性质（一）

教学目标：

1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；

2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；

3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．

教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；

教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．

教学过程设计

（一）复习、发现问题

1．直线与圆的三种位置关系

在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?

２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）

图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?

如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．

发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．

（二）切线的判定定理：

1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2、对定理的理解：

引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．

请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．

图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．

从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．

（三）切线的判定方法

教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：

①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．

（四）应用定理，强化训练

例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．

求证：直线AB是⊙O的切线．

分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。

证明：连结0C

∵0A＝0B，CA＝CB，”

∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线．

∴AB⊥OC．

直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线．

练习1判断下列命题是否正确．

(1)经过半径外端的直线是圆的切线．

(2)垂直于半径的直线是圆的切线．

(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．

(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．

采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，

练习P106，1、2

目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）

（五）小结

1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可．

2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：

(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．

(3)根据切线的判定定理来判定．

其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．

3、能力：初步会应用切线的判定定理．

（六）作业P115中2、4、5；P117中B组1．

切线的判定和性质（二）

教学目标：

1、使学生理解切线的性质定理及推论；

2、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力；

教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2．

教学难点：利用“反证法”来证明切线的性质定理．

教学设计：

（一）基本性质

1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）

2、归纳：（引导学生完成）

(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；

猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径．

引导学生应用“反证法”证明．分三步：

(1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，

(2)同时作一条AT的垂线OM．通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径．则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾．

(3)承认所要的结论AT⊥AO．

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直．

引导学生发现：

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心．

引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．

(1)垂直于切线；

(2)过切点；

(3)过圆心．

(二)归纳切线的性质

(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）

(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）

（三）应用举例，强化训练．

例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．

求证：AC平分∠DAB．

引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么．

证明：连结OC．

∴AC平分∠DAB．

例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。

已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD

求证：连结E、F的线段是直径。

证明：连结EO并延长

∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，

∵AB∥CD，∴OE⊥CD．

∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F

∴EF为⊙O直径

强化训练：P109，1

3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。

已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B

求证：MN∥CD

证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径

∴MN⊥AB

∵CD切⊙O于B，B为半径外端

∴CD⊥AB，

∴MN∥CD．

（四）小结

1、知识：切线的性质：

(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）

(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）

2、能力和方法：

凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径．从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系．

（五）作业教材P109练习2；教材P116中7．

切线的判定和性质（三）

教学目标：

1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；

2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；

3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维．

教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用．

教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程．

教学设计：

（一）复习与归纳

1、切线的判定

切线的判定方法有三种：

①直线与圆有唯一公共点；

②直线到圆心的距离等于该圆的半径；

③切线的判定定理．即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2、切线的性质：

(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）

(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）

(二)灵活应用

例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．

证明：连结OD．

∵OA=OD，∴∠1=∠2，

∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4

∴∠3=∠4

在△OBC和△ODC中，

OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，

∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．

∴DC是⊙O的切线．

例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切．

证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F．

∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB．

又∵AB=CD，

∴OF=OE，又OF⊥CD，

∴CD与小圆O相切．

学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）；

（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系．

例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点

求证：CE=CF

证明：连结OE

∵BE=BO∴∠3=∠B

∵CE切⊙O于E

∴OE⊥CE∠2+∠3=90°

∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°

∴∠2=∠4

∵∠1=∠4∴∠1=∠2

∴CE=CF

以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决．

巩固练习：P111练习1、2．

（三）小结：

1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质

2、能力：①灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧．

（四）作业：教材P115，1（1）、2、3．

探究活动

问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．

(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；

(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；

猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明．

解：(1)测量结果：

(2)图2中的测量结果：

图3中的测量结果：

猜想：

证明：

解：(1)测量结果：∠CDP=45°．

(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°．

图3中的测量结果：∠CDP=45°．

猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化．

证明：连结OC．

∵PC切⊙O于点C，

∴PC⊥OC，

∴∠1+∠CPO=90°，

∵PC平分∠APC，

∴∠2=1/2∠CPO．

∵OA=OC

∴∠A=∠3．

∴∠1=∠A+∠3，

∴∠A=1/2∠1．

∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°．

∴猜想正确．

数学教案－圆的周长弧长教案模板

圆周长、弧长(一)

教学目标：

1、初步掌握圆周长、弧长公式；

2、通过弧长公式的推导，培养学生探究新问题的能力；

3、调动学生的积极性，培养学生的钻研精神;

4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．

教学重点：弧长公式．

教学难点：正确理解弧长公式．

教学活动设计：

（一）复习（圆周长）

已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？

C=2πR

这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．

由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？

提出新问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．

（二）探究新问题、归纳结论

教师组织学生探讨（因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式）．

研究步骤：

（1）圆周长C=2πR；

（2）1°圆心角所对弧长=；

（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；

（4）n°圆心角所对弧长=．

归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则

（弧长公式）

（三）理解公式、区分概念

教师引导学生理解：

（1）在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；

（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；

（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．

（四）初步应用

例1、已知：如图，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周长C2=150cm，求圆环的宽度d(精确到1mm)．

分析：（1）圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？

（2）已知周长怎样求半径？

（学生独立完成）

解：设外圆的半径为R1，内圆的半径为R2，则

d=．

∵，，

∴（cm）

例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)

教师引导学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想．

解：由弧长公式，得

（mm）

所要求的展直长度

L（mm）

答：管道的展直长度为2970mm．

课堂练习：P176练习1、4题．

（五）总结

知识：圆周长、弧长公式；圆周率概念；

能力：探究问题的方法和能力，弧长公式的记忆方法；初步应用弧长公式解决问题．

（六）作业教材P176练习2、3；P186习题3．

圆周长、弧长(二)

教学目标：

1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题；

2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力；

3、通过应用题的教学，向学生渗透理论联系实际的观点．

教学重点：灵活运用弧长公式解有关的应用题．

教学难点：建立数学模型．

教学活动设计：

（一）灵活运用弧长公式

例1、填空：

（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；

（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；

（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．

（学生独立完成，在弧长公式中l、n、R知二求一．）

答案：（1）2π；（2）24；（3）60°．

说明：使学生灵活运用公式，为综合题目作准备．

练习：P196练习第1题

（二）综合应用题

例2、如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．(1)求皮带长(保留三个有效数字)；(2)如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．

教师引导学生建立数学模型：

分析：（1）皮带长包括哪几部分（+DC++AB）；

（2）“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？

（3）AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？（AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线，AB=CD，根据的是两圆外公切线长相等．）

（4）如何求每一部分的长？

这里给学生考虑的时间和空间，充分发挥学生的主体作用．

解：(1)作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C，作O2E⊥O1A，垂足为E．

∵O1O2=2.1，，，

∴，

∴（m）

∵，∴，

∴的长l1（m）．

∵，∴的长（m）．

∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62（m）．

（2）设大轮每分钟转数为n，则

，（转）

答：皮带长约5.63m，大轮每分钟约转277转．

说明：通过本题渗透数学建模思想，弧长公式的应用，求两圆公切线的方法和计算能力．

巩固练习：P196练习2、3题.

探究活动

钢管捆扎问题

已知由若干根钢管的外直径均为d，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度．

请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明．

提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为Ln如图：

当n=2时，L2=（π+2）d．

当n=3时，L3=（π+3）d．

当n=4时，L4=（π+4）d．

当n=5时，L5=（π+5）d．

当n=6时，L6=（π+6）d．

当n=7时，L7=（π+6）d．

当n=8时，L8=（π+7）d．

猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为L=（π+n）d．

证明略．

数学教案－作图题举例教案模板

（1）知识结构

重点与难点分析

本节内容的重点是根据基本作图作出符合要求的几何图形。几何作图题同一般画图题不同，它规定只准用直尺和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，这样有助于培养学生的逻辑推理能力；另外，以后复杂的作图题常用基本作图中的三角形作基础，通过三角形来完成。

本节内容的难点是如何构思作图思路，如何分解所要求作的几何图形，探索出作图步骤。比较复杂的作图题，要经过严竦胤治觯拍苷业阶魍嫉母莺头椒ǎ舛酝评砟芰Φ囊蟊冉细摺６愿崭?lt;STRONG>学习几何作图问题的初二学生来讲，他们会感到困难的，所以把上述作为难点来对待。

教法建议

本节课教学模式的选择与学习方法主要是通过师生互动交流、学生群体互动交流，教给学生学习数学的切实方法。让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：

（1）本节课开始，由同学们写出五种基本作图并作图，保留痕迹。要求同桌互相检查，从一开始就鼓励双边交流与多边交流。体现以“学生为主体”的教学思想。

（2）出示问题（例1，例2，例3），让学生主动探索解决。

对例1学生可以独立思考或者相互讨论。教师巡视，若发现有一些学生已经通过某种途径获得问题的解答，则可以让学生表述自己的解法，否则可以启发。教师注意强调作图题的有关事项。

对例2、例3仍是学生思考与交流。需要的话，教师应当提供必要的帮助：大家是否有点困难？有没有思路？你是否知道自己要达到的目的，或者说你想得到什么（必要的话，可以提示学生回顾一下例1作法过程）然后，让学生试着写出作法，利用投影展示学生的作品，师生共同纠正完善。

这一过程给学生提供了自主活动的机会，通过尝试几个实例，进而获得作图题的一般解题思路和方法。讲清尺规作图题的如何分析作法的来源。

教学目标：

1、知识目标：

（1）能够利用基本作图作出符合要求作的几何图形；

（2）熟练作图的规范语言；

2、能力目标：

（1）通过作图题，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维与推理能力；

（2）通过作图问题的解决，提高作图的技能和技巧.

3、情感目标：

通过作图练习，培养学生良好的书写习惯.

教学重点：根据基本作图作出符合要求的几何图形.

教学难点：如何构思作图思路，如何分解所要求作的几何图形，探索出作图步骤.

教学用具：直尺，微机

教学方法：自学辅导

教学过程：

1、复习引入

（1）五种基本作图是什么？（学生回答后，投影显示）

（2）学生在练习本上画出五种基本作图（不写作法，保留痕迹）

教师巡视，并指导个别学生.

2、新课

（1）讲解例1：教师注重作法的思路分析，并板书作法.

例1已知两边及其夹角，求作三角形.

已知：，线段，如图，

求作：，使A＝，AB＝，AC＝

作法：1、作MAN＝

2、在射线AM、AN上分别作线段AB＝，AC＝

3、连结BC

为所求作的三角形

强调说明：

①一般几何作图题的步骤：已知、求作、作法、证明.在一般情况下，只要求掌握已知、求作、作法三个步骤.

②几何作图题的作法的书写规定：在几何作图题中，要反复用到上节学过的基本作图，但不需重复基本作图过程，只要写出是哪个基本作图就可以了.例如“作MAN＝”

③作图语言要规范.

（2）讲解例2

①（投影）例2已知底边，底边上的高，求作等腰三角形.

已知：线段、

求作：，使AB＝AC，且BC＝，高AD＝

②学生思考，教师点拨.

③找学生代表口述作法，教师板书.

作法：1、作线段BC＝

2、作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D

3、在MN上截取DA，使DA＝

4、连结AB、AC

为所求的等腰三角形

（3）讲解例3

①（投影）例3求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段

已知：线段

求作：，使∠A＝，AB＝AC，BC＝

②学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论

③找学生代表口述作法思路

思路1：作两直角的平分线

思路2：先作一个角为，然后再作另一个角与其相等

思路3：先作一个角为，再作直角.

思路4：利用等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半.

师生共同讨论，说明各种思路的优势.

3、课堂小结：

一些简单作图都是由基本作图组成的，由此，在几何作图时，先应画出草图分析，将简单的尺规作图分解为若干个基本作图.

4、布置作业：

a、书面作业P88＃7

b、上交作业P88＃11、12

c、思考题：如图

板书设计：