含绝对值的不等式

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一名认真的高中教师肯定有一份准备充分的教案，教案可以围绕我们教学的多方面来写，老师经常会为写教案感到苦恼，如何才能写好高中教案呢？为了帮助大家，下面是由小编为大家整理的含绝对值的不等式，仅供参考，欢迎大家阅读。

教学目标

（1）掌握与（）型的绝对值不等式的解法．

（2）掌握与（）型的绝对值不等式的解法．

（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；

（4）通过将同解变形为不，培养学生化归的思想和转化的能力；

教学重点：型的不等式的解法；

教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题．

教学过程设计

教师活动

学生活动

设计意图

一、导入新课

【提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？

【概括】

口答

绝对值的概念是解与（）型绝对值不等值的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫．

二、新课

【导入】2的绝对值等于几？－2的绝对值等于几？绝对值等于2的数是谁？在数轴上表示出来．

【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程来表示，这样的方程叫做绝对值方程．显然，它的解有二个，一个是2，另一个是－2．

【提问】如何解绝对值方程．

【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？

【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合．

【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？

【质疑】的解集有几部分？为什么也是它的解集？

【讲述】这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以是解集的一部分．在解时容易出现只求出这部分解集，而丢掉这部解集的错误．

【练习】解下列不等式：

（1）；

（2）

【设问】如果在中的，也就是怎样解？

【点拨】可以把看成一个整体，也就是把看成，按照的解法来解．

所以，原不等式的解集是

【设问】如果中的是，也就是怎样解？

【点拨】可以把看成一个整体，也就是把看成，按照的解法来解．

，或，

由得

由得

所以，原不等式的解集是

口答．画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数．

画出数轴，思考答案

不等式的解集表示为

画出数轴

思考答案

不等式的解集为

或表示为，或

笔答

（1）

（2），或

笔答

笔答

根据绝对值的意义自然引出绝对值方程（）的解法．

由浅入深，循序渐进，在（）型绝对值方程的基础上引出（）型绝对值方程的解法．

针对解（）绝对值不等式学生常出现的情况，运用数轴质疑、解惑．

落实会正确解出与（）绝对值不等式的教学目标．

在将看成一个整体的关键处点拨、启发，使学生主动地进行练习．

继续强化将看成一个整体继续强化解不等式时不要犯丢掉这部分解的错误．

三、课堂练习

解下列不等式：

（1）；

（2）

笔答

（1）；

（2）

检查教学目标落实情况．

四、小结

的解集是；的解集是

解绝对值不等式注意不要丢掉这部分解集．

或型的绝对值不等式，若把看成一个整体一个字母，就可以归结为或型绝对值不等式的解法．

五、作业

1．阅读课本含绝对值不等式解法．

2．习题2、3、4

课堂教学设计说明

1．抓住解型绝对值不等式的关键是绝对值的意义，为此首先通过复习让学生掌握好绝对值的意义，为解绝对值不等式打下牢固的基础．

2．在解与绝对值不等式中的关键处设问、质疑、点拨，让学生融会贯通的掌握它们解法之间的内在联系，以达到提高学生解题能力的目的．

3．针对学生解（）绝对值不等式容易出现丢掉这部分解集的错误，在教学中应根据绝对值的意义从数轴进行突破，并在练习中纠正这个错误，以提高学生的运算能力．

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不等式的证明（三）

第四课时

教学目标

1．掌握分析法证明不等式；

2．理解分析法实质——执果索因；

3．提高证明不等式证法灵活性.

教学重点分析法

教学难点分析法实质的理解

教学方法启发引导式

教学活动

（一）导入新课

（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．

（学生活动）回答和思考教师提出的问题．

［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？

［问题2］能否用比较法或综合法证明不等式：

[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）

设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，

激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．

（二）新课讲授

【尝试探索、建立新知】

（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评．帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系．投影分析法证明不等式的概念．

（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．

[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．

［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？

［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？

［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？

［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．

[投影]分析法证明不等式的概念．（见课本）

设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．

【例题示范、学会应用】

（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．

（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．

例1求证

[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法．

证明：（见课本）

[点评]证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难．此例中，我们很难想到从“”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此．

例2已知：，求证：（用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？

［投影］证法一：因为，所以、去分母，化为，就是．由已知成立，所以求证的不等式成立．

证法二：欲证，因为

只需证，

即证，

即证

因为成立，所以成立．

（证法二正确，证法一错误．错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误．）

[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：

（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）

分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反．②用分析法证明时要注意书写格式．分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：

要证命题B为真，

只需证明为真，从而有……

这只需证明为真，从而又有……

……

这只需证明A为真．

而已知A为真，故命题B必为真．

要理解上述格式中蕴含的逻辑关系．

[投影]例3证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．

［分析］设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形边长为，截面积为，所以本题只需证明：

证明：（见课本）

设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位．掌

握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系．灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正．点评练习中存在的问题．

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

【字幕】练习1．求证

2．求证：

设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

1．分析法是证明不等式的一种常用基本方法．当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的．

2．用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

本节课主要学习了用分析法证明不等式．应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：

通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等．在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质．另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用．理解分析法和综合法是对立统一的两个方面．有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业：P174、5．

2．思考题：若，求证

3．研究性题：已知函数，，若、，且证明

设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题．

（五）课后点评

教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．

本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法．

在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．

作业答案：

思考题：

．因为，故，所以成立．

研究性题：令，，则：

，，

故原不等式等价于

由已知有．。所以上式等价于，即。所以又等价于．因为，上式成立，所以原不等式成立。

不等式的实际解释

题目：不等式：是正数，且，则。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即个单位溶液中含有个单位的溶质，其浓度小于加入个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。

分析与解

1．先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。

设地板面积为平方米，窗户面积为平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的平方米，住宅的采光条件变好了，即有

2．是正数，不等式可以推出，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。

3．电阻串并联。电阻值为、的电阻，串联电阻为，并联电阻为，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式，即

说明许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。

不等式的性质（三）【精】

探究活动

能得到什么结论

题目已知且，你能够推出什么结论？

分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

思路一：改变的范围，可得：

1．且；

2．且；

思路二：由已知变量作运算，可得：

3．且；

4．且；

5．且；

6．且；

7．且；

思路三：考虑含有的数学表达式具有的性质，可得：

8．（其中为实常数）是三次方程；

9．（其中为常数）的图象不可能表示直线。

说明从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑．

探究关系式是否成立的问题

题目当成立时，关系式是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。

解：因为，所以，所以，

所以，

所以或

所以或

所以或

所以不可能成立。

说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出，必须同时大于1或同时小于1的结论。

探讨增加什么条件使命题成立

例适当增加条件，使下列命题各命题成立：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，，则；

（4）若，则

思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

解：（1）

（2）。当时，

当时，

（3）

（4）

引申发散对命题（3），能否增加条件，或，，使其成立？请阐述你的理由。

不等式的证明(一）【推荐】

教学目标

（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；

（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；

（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；

（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；

（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；

（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯．

教学建议

（一）教材分析

1．知识结构

2．重点、难点分析

重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；

难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；

②综合性问题选择适当的证明方法．

（1）不等式证明的意义

不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．

（2）比较法证明不等式的分析

①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．

②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

由于，因此，证明，可转化为证明与之等价的．这种证法就是求差比较法．

由于当时，，因此，证明可以转化为证明与之等价的．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式时，一定要注意的前提条件．

③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”．

其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．

变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少．

变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式．或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等．总之．能够判断出差的符号是正或负即可．

④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明．

（3）综合法证明不等式的分析

①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．

②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式．

③综合法证明不等式的逻辑关系是：

…．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）

④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键．

（4）分析法证明不等式的分析

①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．

有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．

②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．

③用分析法证明不等式的逻辑关系是：

…．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）

④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词．如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等．

⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效．

（5）关于分析法与综合法

①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．

②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知．

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．

③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．

综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．

④各有其优缺点：

从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论．

从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．

也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．

⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．

（二）教法建议

①选择例题和习题要注意层次性．

不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的．教师在教学中要注意例题安排要由易到难，由简单到综合，层层深入，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系．教师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当．

要坚持精讲精练的原则．通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对知识进行拓展、延伸，使学生沟通知识，有效地提高解题能力．

②在教学过程中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与．

通过学生参与教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题．

③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难．

第一课时

教学目标

1．掌握证明不等式的方法——比较法；

2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．

教学重点比较法的意义和基本步骤.

教学难点常见的变形技巧.

教学方法启发引导式.

教学过程

（－）导入新课

（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？．

（学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题．

（学生甲回答：，，，）

［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．（板书课题）

设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

（教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目

[问题]求证

教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．

（学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题．

（得出证明过程后）

［点评］

①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．

②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．

③理论依据是：

④由，，知：要证明只要证；要证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．

设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．

例1求证

（学生活动）学生在教师引导下，研究问题．与教师一道完成问题的论证．

［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．

证明：∵

＝

＝，

∴．

［点评］

①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号．

②作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定．

③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断．

变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．至于怎样变形，要灵活处理，例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．

例2已知都是正数，并且，求证：

［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．

证明：

＝

＝．

因为都是正数，且，所以

．

∴．

即：

[点评]

①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号．

②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法．

③例2的结论反映了分式的一个性质（若都是正数．

1．当时，

2．当时，．以后要记住．

设计意图：巩固用比较法证明不等式的知识，学会在用比较法证明不等式中，对差式变形的常用方法——配方法、通分法．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．

[字幕]

练习：1．求证

2．已知，，，d都是正数，且，求证

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

设计意图，掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教学活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法．用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断符号．要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法．并在下节课继续学习对差式变形的常用方法．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业：P16．1，2，3．

2．思考题：已知，求证：

3．研究性题：设，，都是正数，且，求证：

设计意图，课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，培养其灵活掌握用比较法证明不等式的能力；研究性题是为培养学生创新意识．

（五）课后点评

1．本节课是用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，教师提出问题，让学生回忆所学知识中，是如何比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等式．这样处理合情合理，顺理成章．

2．在建立新知过程中，教师引导学生分析研究证明不等式，使学生在尝试探索过程中形成用比较法证明不等式的感性认识．

3．例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤．在这里如何对差式变形是难点，应着重解决．首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破．

4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成．教师通过启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

作业答实

思考题：，又，获证．

研究性题：

．

所以，

不等式的证明（三）

第四课时

教学目标

1．掌握分析法证明不等式；

2．理解分析法实质——执果索因；

3．提高证明不等式证法灵活性.

教学重点分析法

教学难点分析法实质的理解

教学方法启发引导式

教学活动

（一）导入新课

（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．

（学生活动）回答和思考教师提出的问题．

［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？

［问题2］能否用比较法或综合法证明不等式：

[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）

设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，

激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．

（二）新课讲授

【尝试探索、建立新知】

（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评．帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系．投影分析法证明不等式的概念．

（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．

[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．

［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？

［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？

［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？

［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．

[投影]分析法证明不等式的概念．（见课本）

设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．

【例题示范、学会应用】

（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．

（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．

例1求证

[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法．

证明：（见课本）

[点评]证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难．此例中，我们很难想到从“”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此．

例2已知：，求证：（用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？

［投影］证法一：因为，所以、去分母，化为，就是．由已知成立，所以求证的不等式成立．

证法二：欲证，因为

只需证，

即证，

即证

因为成立，所以成立．

（证法二正确，证法一错误．错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误．）

[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：

（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）

分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反．②用分析法证明时要注意书写格式．分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：

要证命题B为真，

只需证明为真，从而有……

这只需证明为真，从而又有……

……

这只需证明A为真．

而已知A为真，故命题B必为真．

要理解上述格式中蕴含的逻辑关系．

[投影]例3证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．

［分析］设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形边长为，截面积为，所以本题只需证明：

证明：（见课本）

设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位．掌

握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系．灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

【课堂练习】

（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正．点评练习中存在的问题．

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

【字幕】练习1．求证

2．求证：

设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

1．分析法是证明不等式的一种常用基本方法．当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的．

2．用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

本节课主要学习了用分析法证明不等式．应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：

通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等．在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质．另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用．理解分析法和综合法是对立统一的两个方面．有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业：P174、5．

2．思考题：若，求证

3．研究性题：已知函数，，若、，且证明

设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题．

（五）课后点评

教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．

本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法．

在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．

作业答案：

思考题：

．因为，故，所以成立．

研究性题：令，，则：

，，

故原不等式等价于

由已知有．。所以上式等价于，即。所以又等价于．因为，上式成立，所以原不等式成立。

不等式的实际解释

题目：不等式：是正数，且，则。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即个单位溶液中含有个单位的溶质，其浓度小于加入个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。

分析与解

1．先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。

设地板面积为平方米，窗户面积为平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的平方米，住宅的采光条件变好了，即有

2．是正数，不等式可以推出，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。

3．电阻串并联。电阻值为、的电阻，串联电阻为，并联电阻为，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式，即

说明许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。